28. Utiliser les vecteurs pour démontrer que des triangles sont rectangles ou isocèles

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement comment déterminer la nature d'un triangle sachant qu'on vous a donné les coordonnées. On s'y met tout de suite. Alors pour rappel, les trois possibilités pour un triangle c'est qu'il soit rectangle, isocèle ou équilatéral. Un triangle rectangle a un angle droit, un triangle isocèle a deux côtés pareils et un triangle équilatéral a trois côtés pareils.

Calcul des longueurs

Quand on est dans un exercice où on vous donne les coordonnées des points, la première étape ça va être de calculer les longueurs. En effet, si vous calculez la longueur AB, la longueur AC et la longueur BC dans votre triangle, vous pouvez directement savoir s'il est isocèle ou équilatéral. Si j'ai deux côtés pareils, il est isocèle. Si j'ai trois côtés pareils, il est équilatéral. Je vous rappelle que dans un triangle équilatéral, chaque angle fait \(\frac{\pi}{3}\), c'est-à-dire 60 degrés. Donc on calcule les longueurs et on regarde si le triangle est isocèle, équilatéral ou rectangle.

Calcul des coordonnées

Pour calculer une longueur AB, AC et BC, la première chose c'est de calculer les coordonnées du vecteur AB. Pour calculer les coordonnées du vecteur AB, vous utilisez la formule \(x_B - x_A\) et \(y_B - y_A\). Si on a par exemple les points A(3,0) et B(3,4), on a les coordonnées du vecteur AB. Avec le vecteur AB, on peut calculer la norme du vecteur AB en utilisant la formule qui s'affiche sur la droite. Si vous avez la norme du vecteur AB, vous avez en fait la distance AB. Donc la norme de AB, que je note \(||AB||\), s'écrit \(\sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2}\), ça me fait \(\sqrt{16}\) et ça me fait 4. On recommence avec AC. Alors AC, c'est \(x_C - x_A\) et \(y_C - y_A\). Si on a par exemple les points A(3,0) et C(11,1), on a les coordonnées du vecteur AC. Donc la longueur AC est \(\sqrt{(11-3)^2 + (1-0)^2}\), ça fait \(\sqrt{64}\) et ça fait 8. On peut déjà dire qu'il n'est pas équilatéral parce que j'ai un côté qui vaut 4 et un autre côté qui vaut 8. Donc l'option équilatéral est déjà éliminée. On finit avec BC. Donc BC, c'est \(x_C - x_B\) et \(y_C - y_B\). Si on a par exemple les points B(3,4) et C(11,1), on a les coordonnées du vecteur BC. Donc la norme de BC est \(\sqrt{(11-3)^2 + (1-4)^2}\), ça fait \(\sqrt{80}\).

Conclusion

Ce triangle n'est clairement pas équilatéral parce qu'on a deux côtés qui sont différents. Il n'est pas non plus isocèle parce que 4 n'est pas la même chose que 8 et 8 n'est pas la même chose que \(\sqrt{80}\). La seule option qui lui reste est d'être rectangle. Pour vérifier si le triangle est rectangle, on va utiliser le théorème de Pythagore. On va vérifier si le côté le plus grand, c'est-à-dire \(\sqrt{80}\), est égal au carré de la somme des deux autres côtés, c'est-à-dire \(4^2 + 8^2\). Si c'est le cas, alors le triangle est rectangle. En effet, \(\sqrt{80}^2 = 80\) et \(4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80\). Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle. N'oubliez pas de dire qu'ici c'est la réciproque du théorème de Pythagore. Vous avez vu des petits exercices en dessous, faites-vous plaisir, vous êtes des champions, à vous de jouer!