16. Calculer les coordonnées d'un vecteur avec 2 points

Introduction

Elle est venue, on est parti pour apprendre une des formules que vous avez le plus utilisé avec les vecteurs. C'est comment calculer les coordonnées du vecteur AB sachant que vous avez les coordonnées de A et celle de B. On s'y met tout de suite.

Formule de calcul des coordonnées d'un vecteur

La formule qui vous permet de calculer les coordonnées du vecteur AB en fonction de celles de A et de B est tout simplement : AB = B - A. Pourquoi ? On donne \(x_{2} - x_{1}\) et \(y_{b} - y_{a}\). Autrement dit, la première coordonnée de B moins la première coordonnée de A et la deuxième coordonnée de B moins la deuxième coordonnée de A. En maths et en physique, c'est toujours la fin - le début. Donc AB est égal à \(x_{b} - x_{a}\) et \(y_{b} - y_{a}\).

Application de la formule

Si on applique cette formule, mon vecteur AB aura pour coordonnées \(x_{b} - x_{a}\) et \(y_{b} - y_{a}\). Donc \(x_{b}\) c'est à dire la première coordonnée de B moins la première coordonnée de A, ça me fait \(2 - 5\). La deuxième coordonnée de B c'est à dire -2 moins la deuxième coordonnée de A c'est à dire 3, ça me fait \(-2 - 3\). Pour ceux que ça intéresse, cette formule vient du fait que si je mets deux points A et B au hasard, vous êtes d'accord avec moi que ce qu'on va lire comme coordonnées ici ça va être \(x_{a}\) et \(y_{a}\) pour A et \(x_{b}\) et \(y_{b}\) pour B. Si je veux le vecteur AB, c'est à dire ce vecteur là, je vous rappelle que les coordonnées d'un vecteur dans un repère c'est combien de fois je dois faire l'horizontale et combien de fois je dois faire la verticale. Autrement dit, combien de fois j'ai le vecteur i et combien de fois j'ai le vecteur j. Pour faire AB, on va commencer par ce bout là donc la partie horizontale. Il faut faire cette longueur là sauf que cette longueur c'est celle qui est ici, c'est la même. Or cette longueur là, comment est-ce que je la calcule ? Ben je fais la fin c'est à dire par exemple \(x_{b}\) moins le début \(x_{a}\). D'où le fait que la première coordonnée de AB soit \(x_{b} - x_{a}\). Rebelote ici, si je veux avoir la coordonnée en j, l'équivalent vertical, je vais faire \(y_{b} - y_{a}\) pour avoir cette distance là. C'est comme ça qu'on retrouve la formule. On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer.