14. Exprimer u en fonction de i et j - Repère orthonormé

Introduction

Allez, mettons-nous au travail. Dans cette vidéo, nous allons voir très rapidement comment exprimer deux vecteurs en fonction des vecteurs de la base du plan.

Comprendre la base d'un plan

Donc, lorsque vous tombez sur des phrases comme "on se place dans la base \(i, j\)", cela signifie que votre espace, l'espace dans lequel on va poser les vecteurs, va avoir comme origine le point \(O\). C'est l'endroit de référence, l'endroit par rapport auquel on va se positionner et qui va être dirigé par les vecteurs \(i\) et \(j\). Autrement dit, chacun des vecteurs que l'on va tracer pourra être exprimé en fonction de ces deux vecteurs et uniquement ces deux vecteurs.

Exprimer des vecteurs en fonction de la base

Quand on vous dit "exprimez \(u, v\) en fonction de \(i, j\)", ce qu'on vous demande, c'est de dire : "le vecteur \(u\) est un certain nombre de fois \(i\) plus un certain nombre de fois \(j\)", et "le vecteur \(v\) est un certain nombre de fois \(i\) plus un certain nombre de fois \(j\)". Prenons le vecteur \(u\) par exemple. Pour l'exprimer en fonction de \(i\) et \(j\), il va d'abord falloir utiliser une relation du type Chasles pour que le trajet ne se fasse qu'en fonction de trajets soit horizontaux, soit verticaux. Pour aller de \(O\) à \(u\), on peut dire : "je passe par \(i\) et ensuite je passe par \(j\)". Passer par \(i\) revient à faire 5 fois le vecteur \(i\) et passer par \(j\) revient à faire 2 fois le vecteur \(j\). Pour le vecteur \(v\), on peut choisir de faire -2 fois le vecteur \(j\) et une fois le vecteur \(i\).

Conclusion

Cela va servir à donner les coordonnées d'un vecteur. Autrement dit, votre vecteur \(u\), ses coordonnées, c'est-à-dire le nombre de fois où vous avez besoin de faire \(i\) et le nombre de fois où vous avez besoin de faire \(j\) pour le représenter, seront \(5\) et \(2\). Du coup, on écrira les coordonnées de \(u\) comme \(5, 2\). Dans la prochaine vidéo, il y aura des exercices pour vous entraîner. À vous de jouer !