12. Décomposer un vecteur avec Chasles

Introduction

Allez les amis, on va voir dans cet exercice comment utiliser la relation de Chasles pour exprimer un vecteur en fonction d'un autre. La relation de Chasles est très facile à utiliser. Elle dit que quand je vais finalement de ce point à ce point, c'est comme si je passais d'abord par le point B, puis au point A, ou alors que je passais par le point D. Pour le croire, admettons que je veuille exprimer les vecteurs C1.

Utilisation de la relation de Chasles

Ce que je vous recommande, c'est de mettre un exemple. La lettre D entre les deux, donc on écrit ça parce qu'on voit que le vecteur \( \vec{AC} \) en passant par D, c'est comme faire \( \vec{AD} + \vec{DC} \). Je sais que ça va finir par C, que cela a commencé par A, et que j'ai passé par D au milieu. Pour aller de A à C, je passe par D. Ensuite, je fais \( \vec{AD} + \vec{DC} \). Du coup, quand je veux faire \( \vec{AC} \), c'est \( \vec{AD} + \vec{DC} \). J'ai déjà fait un pas, parce que j'ai exprimé \( \vec{AC} \) en fonction de \( \vec{AD} \) et \( \vec{DC} \). Pour moi, je vais exprimer \( \vec{AC} \) en fonction de ces deux vecteurs, \( \vec{AD} \) et \( \vec{DC} \). J'ai pris mon \( \vec{AC} \), je l'ai exprimé en fonction de \( \vec{AD} \) et \( \vec{DC} \), c'est-à-dire ce vecteur-là et ce vecteur-là. Vous aurez des questionnements, mais il manque un petit mois du tout. Du coup, plutôt que de lire \( \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} \), je vais lire \( \vec{AC} = \vec{AB} - \vec{BC} \).

Conclusion

J'ai bien exprimé \( \vec{AC} \) en fonction de \( \vec{AB} \) et \( \vec{BC} \), et l'histoire est terminée. Cet exercice est peut-être un peu moins intuitif. On va commencer à dire que j'ai \( \vec{BD} = \frac{1}{2} \vec{AC} \), vu que je suis face à un parallélogramme et que les diagonales se coupent en leur milieu. Donc, \( \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{BD} \). Sauf que, regardez, je veux exprimer mon \( \vec{BD} \) en fonction de \( \vec{BA} \) et \( \vec{AD} \). Donc, si je passe par le point A, je transforme \( \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} \). Donc, je passe bien par mes deux vecteurs qui sont là. Donc, je vais dire que \( \vec{AC} = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AD}) \). Regardez comme c'est cool, le \( \vec{AD} \) je l'ai déjà, il me reste plus qu'à avoir \( \vec{AB} \). Mais je vais exprimer \( \vec{AB} \) en fonction de \( \vec{AC} \) et \( \vec{BC} \), donc \( \vec{AB} = \vec{AC} - \vec{BC} \). Et j'ai bien écrit \( \vec{AC} \) en fonction de \( \vec{AB} \) et \( \vec{BC} \). C'est une compétence qui est essentielle, il faut que vous sachiez le faire, que ce soit dans un paragraphe, dans un triangle, ou partout, parce que c'est ça qui va vous permettre d'accéder aux cinq étoiles et points de contrôle. On vous a mis des exercices en dessous pour vous entraîner.