Introduction
Bonjour à tous, nous allons voir comment résoudre très simplement une équation où on a un quotient à gauche. Cela vous permettra de faire les exercices que vous avez en dessous.
Je vous rappelle que pour l'instant, en seconde, tout ce que vous savez résoudre c'est \(3x + 2\) plus grand ou plus petit que 0, quelque chose par exemple aux carrés de fois quelque chose plus grand ou plus petit que 0 et on va voir maintenant quelque chose / quelque chose plus grand ou plus petit que 0. C'est le seul cas que vous savez résoudre et c'est le cas auquel il faut que vous vous rameniez.
Étapes de résolution
Donc, quand on est sous la forme d'un quotient, c'est-à-dire quelque chose / quelque chose plus petit, par exemple, je vais :
1. Étudier le signe du numérateur (celui qui est en haut)
2. Étudier le signe du dénominateur
3. Faire mon petit tableau de signes avec une petite subtilité par rapport à la multiplication. Ce n'est pas exactement le même principe qu'avec une multiplication, même si ça y ressemble beaucoup. Vous verrez, c'est à la fin de la vidéo.
4. Donner la réponse
Exemple de résolution
On commence avec \(-5x + 2\). Pour étudier \(-5x + 2\), vous pouvez résoudre par exemple \(-5x + 2 > 0\). Encore une fois, que vous décidiez de résoudre plus grand que zéro, plus petit que zéro, plus grand ou égal, petit ou égal, on s'en fout parce que ce que vous voulez c'est remplir votre tableau.
Donc, je commence par passer mon 2 de l'autre côté. Pour ceux qui se demandent comment je fais ça, vu que j'ai un +2 pour l'annuler, je vais faire un -2 des deux côtés. Est-ce que je change de signe ou pas quand je fais -2 ? Non, je ne change pas de signe parce que je vous rappelle que les deux seuls cas où on change de signe c'est quand on multiplie ou qu'on divise par un nombre négatif. Or, ajouter -2 n'est ni une multiplication ni une division, donc on ne change pas le signe.
À gauche, \(-5x + 2 - 2\) devient \(-5x\), qui est plus grand que \(0 - 2\), ce qui donne \(-2\).
Je continue, je me rappelle que je vais avoir \(x\) tout seul. Qu'est-ce qui lui arrive à ce pauvre \(x\) ? Il est multiplié par -5. Comment est-ce que je l'élimine ? Pour annuler la multiplication, je vais diviser. Donc, je vais diviser ce côté par -5. Mais attention, si je le fais à gauche, je suis obligé de le faire à droite aussi. On ne fait rien seulement d'un côté.
Qu'est-ce qui se passe ? \(-5x / -5\) se simplifie en \(x\). Qu'est-ce qui se passe en termes de signe ? Parce que j'ai divisé par un nombre négatif, je vais devoir changer ce signe. Il ne faut pas l'oublier, sinon ça vous fout en l'air tout l'exercice. \(-2 / -5\) se simplifie en \(2/5\), donc \(x < 2/5\).
J'ai un premier avis. Évidemment, on l'a étudié de \(-\infty\) à \(+\infty\), c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels. Je sais que quand \(x < 2/5\), \(-5x + 2\) est positif. Donc, après \(2/5\), il est forcément négatif.
C'est bon pour la première étape. Je fais de même pour le dénominateur \(3x + 3\).
Je recommence : \(3x + 3 > 0\), je passe mon 3 de l'autre côté, \(3x > -3\), je divise par 3, \(x > -1\).
Je vais mettre mon -1 et -1 est quelque part à gauche du \(2/5\).
Maintenant, pour cette ligne, pour \(3x + 3\), je sais que \(3x + 3\) change de signe, donc devient plus grand que 0, quand \(x > -1\). Donc, le mot - ici, je sais qu'ici ça vaut 0, \(3x + 3\) est positif quand \(x > -1\). Quand \(x\) est ici, c'est positif, et quand \(x\) est ici, c'est négatif.
On a quasiment fini. On a fait le haut, on a fait le bas, on a un tableau de signes. Sur la dernière ligne, on va mettre le quotient en entier, donc on va mettre \(-5x + 2 / 3x + 3\).
La règle des signes c'est toujours la même : quand je prends un truc positif et que je le divise par un truc négatif, ça me fait quelque chose de négatif. Quand je prends un truc positif et je divise par quelque chose de positif, ça fait du positif. Quand je prends un truc négatif et je divise par du positif, ça me fait du négatif.
La grande question c'est qu'est-ce qui se passe ici ? Alors regardez, pour \(2/5\), quand j'ai \(2/5\), \(-5x + 2\), c'est-à-dire le haut, vaut 0 et le bas, \(3x + 3\), il est négatif. Donc, ça a donné un truc du genre \(0 / -3\). Qu'est-ce qui se passe quand on a \(0 / -3\) ? Et bien, \(0 / -3\), que ce soit par -3, par -4 ou par +5 ou par n'importe quoi, ça fait zéro.
Mais regardez le deuxième cas. Dans le deuxième cas, j'ai le numérateur, donc \(-5x + 2\), qui est positif, par exemple 3, et un dénominateur qui vaut zéro. Est-ce que j'ai le droit d'écrire \(3 / 0\) ? Non, la règle absolue, le tabou fondamental des mathématiques, c'est que je n'ai pas le droit de diviser par 0.
Du coup, quand \(x = -1\), cette équation \(-5x + 2 / 3x + 3\) n'existe pas. On n'a pas le droit d'écrire. Du coup, on va mettre une double barre. La double barre signifie que -1 est une valeur interdite, c'est une valeur qui n'a pas le droit d'être mise à la place de \(x\) dans cette équation, sinon on va se retrouver à diviser par 0.
On conclut. On veut que ce truc là soit négatif. Donc, on veut être ici et ici. Donc, notre solution, ça va être l'union, parce que je vais réunir ces deux intervalles. Le premier va de \(-\infty\) jusqu'à -1. Alors attention, le -1 est interdit, donc on ne se pose pas la question, on le vire. Surtout, on le vire, on le met vers l'extérieur, on ne le garde pas. Hors de question d'y toucher.
Et le deuxième intervalle, c'est \(2/5\) jusqu'à \(+\infty\). \(+\infty\) sont toujours ouverts, sont toujours à l'extérieur. \(2/5\), est-ce qu'on a le droit d'avoir ? Ben, quand \(x = 2/5\), notre quotient là, il vaut 0. Est-ce que le zéro est autorisé ? Oui, on se demande quand est-ce que le quotient est inférieur ou égal à zéro. Du coup, le \(2/5\), je le mets dedans.
Donc, vous voyez, ça commence à devenir compliqué. Il faut penser à virer les plus infinis, il faut penser à virer les valeurs interdites, il faut se demander pour la dernière valeur qui reste, est-ce que c'est une inégalité stricte ou est-ce que c'est une inégalité pas stricte.
Vous savez tous, le seul moyen de réussir ce genre de truc, c'est de s'entraîner. On vous a mis une tripotée d'exercices en dessous. Faites-les, à vous de jouer. Vous êtes prêts.