6. Résoudre une équation avec la factorisation

Introduction

Dans cette vidéo, nous allons nous amuser à résoudre de petites équations. Vous allez enfin comprendre pourquoi on insiste autant sur la factorisation et les identités remarquables.

Exemple 1

Prenons une équation comme celle-ci : \(x^2 + 2x = 0\). Il y a mille manières de se tromper. Par exemple, vous pouvez commencer par essayer d'isoler \(x\), mais cela ne fonctionne pas. Vous pouvez aussi essayer de diviser tous les termes par \(x\), mais cela ne fonctionne pas non plus. Après avoir tenté plusieurs choses, vous arrivez à la conclusion que le seul moyen de résoudre une équation de ce type est de factoriser. Regardons ce qui se passe ici. Nous avons \(x^2 + 2x = 0\). Nous ne pouvons pas factoriser par un facteur commun. En fait, si, il y a un point commun et ce point commun c'est \(x\). Parce que \(x^2\) en fait c'est \(x \cdot x\). Donc ce que j'ai ici c'est \(x \cdot x + 2 \cdot x = 0\). Et du coup, j'ai une factorisation possible par \(x\). Une fois que je factorise, j'obtiens \(x( x + 2) = 0\). Je n'oublie pas ici l'équivalent pour dire que c'est la même équation, j'ai juste manipulé mais ça reste la même équation. Et qu'est-ce que je remarque ici ? Eh bien, je remarque que ce que j'ai ici c'est une équation du style \(a \cdot x = 0\).

Exemple 2

Prenons une autre équation : \(x^3 - 2x^2 = 0\). Encore une fois, la seule solution pour s'en sortir c'est de faire une factorisation. Pour faire une factorisation, il faut qu'on ait un point commun. Le point commun ici c'est \(x\). En fait, c'est plus que \(x\), parce que \(x^3\) c'est \(x \cdot x \cdot x\) et \(2x^2\) c'est \(2 \cdot x \cdot x\). Donc mon équation, j'ai le droit de l'écrire \(x^2 \cdot x - 2 \cdot x^2 = 0\). Et du coup, mon facteur commun est \(x^2\). Donc, \(x^2(x - 2) = 0\). Et je me retrouve encore avec \(a \cdot x = 0\). Donc je peux dire que soit \(a = 0\), soit \(x = 0\). Donc c'est soit le premier, donc \(x^2 = 0\), soit le deuxième, donc \(x - 2 = 0\). Et je finis par résoudre ces équations : \(x = 0\) ou alors \(x = 2\).

Conclusion

La moralité de cette vidéo est que le premier réflexe pour résoudre une équation est de factoriser. C'est pour cela que de manière générale, quand vous avez le choix entre une forme factorisée ou une forme développée, la forme factorisée est la plus puissante. Pourquoi ? Parce que si \(a \cdot b = 0\), alors soit \(a = 0\), soit \(b = 0\). En revanche, si \(a + b = 0\), à part dire que \(a = -b\), on ne peut rien dire de plus. Donc la forme factorisée est la plus intéressante.