8. Encadrement des racines carrées

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très simplement comment donner un encadrement de \(\sqrt{2x}\) sachant qu'on vous a donné un encadrement de \(x\). On fait ça tout de suite.

Visualisation graphique

Pour donner un encadrement de \(\sqrt{2x}\), on va d'abord s'amuser à faire apparaître ça sur le graphique et ensuite, grâce au dessin, on va réfléchir à où va se trouver \(\sqrt{2x}\). En effet, ce qu'on attend de vous, c'est que, partant d'une inégalité comme ça, vous arriviez à la multiplier par une égalité avec \(\sqrt{2x}\) à la place de \(x\). Je commence par positionner mon \(x\). Donc, si \(x\) est compris entre 0 et 12, mon \(x\) va se balader sur ce segment ici. Sinon, \(x\) se balade sur ce segment. Évidemment, ça, je ne le mets pas, mais vous le savez, ça c'est la droite où \(x\) se balade entre 0 et 12. Où va se balader \(\sqrt{2x}\)?

Encadrement de \(\sqrt{2x}\)

Pour \(\sqrt{2x}\), on va faire sa place à faire ça, et ainsi de suite jusqu'à l'image de 12. Quelle est l'image de 12 par la fonction \(\sqrt{2x}\)? C'est \(\sqrt{24}\). Donc, si mon \(x\) se balade ici, ce que je vais dire ici, ça va être les valeurs de \(\sqrt{2x}\). Et \(\sqrt{2x}\) va se balader entre 0 et \(\sqrt{24}\). Donc mon \(\sqrt{2x}\) sera compris entre 0 et \(\sqrt{24}\). Je peux encadrer \(x\) et c'est terminé. Je recommence. Si \(x\) est plus grand que 3, autrement dit, si mon \(x\) se balade sur cette droite là, je trouve l'image de 3. Donc, l'image de 3 c'est tout simplement \(\sqrt{6}\). Mais je me dis, si \(x\) se balade comme ça, moi je me retrouve au-dessus de \(\sqrt{6}\), donc \(x\) va se balader ici entre \(\sqrt{6}\) et l'infini. Autrement dit, mon \(x\) va être plus grand que \(\sqrt{6}\). Et c'est aussi simple que ça. On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous. Ça a l'air simple, mais il y a certains cas qui peuvent être un peu plus compliqués.