15. Résoudre d'une inéquation quotient avec une constante

Introduction

Allons-y, les amis, nous sommes prêts pour la dernière compétence de ce chapitre : apprendre à utiliser les fonctions affines pour résoudre un quotient plus grand ou plus petit qu'un nombre. Commençons tout de suite.

Comprendre le problème

À ce stade, vous savez très bien résoudre \( \frac{x - 3}{x} > 0 \). Quand on fait cela, vous faites une inéquation \( -3 < x < 2 \) avec \( x \neq 3 \) sur l'axe des x et en fonction du signe, vous donnez la réponse. Le problème est que si on a \( \frac{x - 3}{x} > 2 \), ce que vous savez faire ne fonctionne pas. Donc, ce que nous allons faire, c'est modifier légèrement cette équation pour la transformer en une inéquation par rapport à 0. Une fois que nous aurons modifié cette inéquation par rapport à 0, nous pourrons résoudre cette équation plutôt que celle-là et les résultats seront les mêmes.

Modification de l'équation

Comment modifie-t-on cela ? Tout simplement, ces deux qui nous embêtent, on va les enlever, on va faire moins deux des deux côtés. Du coup, cette inéquation est strictement équivalente à dire que \( \frac{x - 3}{x + 2} - 2 > 0 \). Pourquoi je dis ça ? Parce que maintenant, j'ai plus grand que 0, 2 - 2 ça fait zéro. Comment gère-t-on ce qui se trouve sur \( x + 2 \) ? Eh bien, j'aime avoir \( -2 \) au même dénominateur que \( x \). Autrement dit, je vais multiplier \( x + 2 \) par \( -2 \), ça va me donner \( \frac{x - 3}{x + 2} - \frac{2x + 4}{x + 2} > 0 \). C'est en mettant tout sur le même dénominateur que je peux avoir une seule barre au dénominateur. Donc, je peux me retrouver avec \( \frac{-x - 7}{x + 2} > 0 \) et j'ai juste à simplifier mon numérateur.

Résolution de l'inéquation

J'ai transformé cette inéquation plus grand que deux en une équation plus grand que zéro. Donc, pour résoudre ça, j'ai juste à résoudre cette inéquation par rapport à 0. Donc, je peux faire mon histoire de tableau. Pour étudier le signe de \( -x - 7 \), c'est une fonction affine, on a déjà fait ça dans une précédente vidéo. \( -x -7 \) s'annule quand \( x = -7 \). Donc, le zéro est à \( -7 \). Vu que le signe devant \( x \) est négatif, cette fonction est décroissante. Si elle est décroissante, avant la valeur zéro, elle est positive et après la valeur zéro, elle est négative. Avec \( x + 2 \), c'est une fonction affine qui s'annule quand \( x = -2 \). Donc, en \( -2 \), elle est nulle. Elle est croissante, donc elle est négative puis positive. J'ai fait les deux petits bouts, je peux maintenant faire le quotient. Donc, \( \frac{-x - 7}{x + 2} \) quand le numérateur est nul, le quotient est égal à zéro et quand le dénominateur s'annule, là attention, ça nous donne une valeur interdite, \( -2 \), ça va annuler \( x + 2 \), donc je vais avoir quelque chose divisé par zéro, je n'en veux pas. Règle des signes : plus par moins donne moins, moins par moins donne plus, plus par moins donne moins. J'ai mon tableau de signes. Du coup, pour répondre à ça, c'est-à-dire quand est-ce que ce truc-là est plus grand que zéro, c'est la même chose que de répondre quand est-ce que ce truc-là est égal à zéro, en tenant compte que ce truc-là, il est plus grand que zéro ici, donc entre \( -7 \) et \( -2 \). Donc, ma solution, c'est tout simplement l'intervalle qui va de \( -7 \) jusqu'à \( -2 \). On règle les bornes, on va exclure les bornes de notre intervalle. \( -2 \) est une valeur interdite, donc dans tous les cas, on le met dehors, on n'en veut pas. \( -7 \) nous donne une valeur de zéro, est-ce qu'on veut zéro ? Non, on veut strictement plus grand que zéro, donc on n'en veut pas. Du coup, \( -7 \) on n'en veut pas non plus, on le met vers l'extérieur. Et voilà, ma petite solution, ça a pris que trois minutes parce que je suis une machine, parce que j'ai fait tous les exercices qui sont en dessous de cette compétence. À vous de jouer, vous êtes des champions.