5. Démontrer qu'une fonction est paire ou impaire

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment en quelques secondes on reconnaît très facilement si une fonction est plutôt paire ou impaire.

Les fonctions paires et impaires

Première chose, les fonctions paires ou impaires, c'est une goutte d'eau dans l'océan des fonctions. Ça veut dire que 99.9999% des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Pour reconnaître des fonctions paires ou impaires, ce n'est pas compliqué. On part de \(f(-x)\). Donc on va écrire \(f(-x)\) et on va travailler, travailler, travailler jusqu'à arriver à un résultat. Si à la fin on arrive à \(f(x)\), alors c'est qu'elle est paire. Si on arrive à \(-f(x)\), c'est qu'elle est impaire.

Exemples de fonctions paires et impaires

Un exemple : \(f(x) = 2x^2\). Donc \(f(-x)\) est la même chose que \(f(x)\) sauf que j'ai remplacé \(x\) par \(-x\). Du coup ici, je vais remplacer \(x\) par \(-x\), donc ça va faire \(2(-x)^2\). Sauf que \((-x)^2\) c'est \(x^2\). Autrement dit, les moins se neutralisent donc ça fait \(2x^2\). Autrement dit, c'est égal à \(f(x)\). Donc, en partant de \(f(-x)\), je suis arrivé à \(f(x)\). Donc la fonction \(f\) est paire. On recommence avec \(g(x) = 2x\). Donc \(g(-x)\) est la même chose que \(g(x)\) sauf que j'ai remplacé \(x\) par \(-x\). Donc ça va faire \(2(-x)\). Je peux mettre le moins sur le \(x\) ou je peux le mettre sur le \(2\), ça revient au même. Donc je le mets plutôt sur le \(2\), ça me fait \(-2x\). Mais \(-2x\) c'est \(-g(x)\). Donc ça me fait \(-g(x)\). Je suis parti de \(g(-x)\) et je suis arrivé à \(-g(x)\). Donc \(g\) est impaire. Et la troisième, \(h(x) = x^2 - x\). Donc \(h(-x)\) c'est \(-x^2 + x\). Donc \(-x^2 + x\) c'est la même chose que \(x^2 - x\). Sauf que \(x^2 - x\) n'est ni \(h(x)\) puisque \(h(x) = x^2 - x\), ni \(-h(x)\) puisque \(-h(x)\) ça ferait \(-x^2 + x\). Donc cette fonction \(h(x)\), comme quasiment l'intégralité de toutes les fonctions, elle est ni paire ni impaire.

Conclusion

Voilà, vous avez des exercices en dessous. La prochaine compétence, la prochaine vidéo, ça sera comment reconnaître graphiquement une fonction paire ou impaire. Spoiler : quand une fonction est paire, il y a une symétrie centrale. Quand une fonction est impaire, il y a une symétrie axiale.