📖 Fiche résumée

Introduction aux Droites du Plan : Un Pilier des Mathématiques de Seconde

Bienvenue sur cette fiche de cours détaillée dédiée à un chapitre fondamental du programme de mathématiques de la classe de Seconde : les droites du plan. Ce concept, à la croisée de la géométrie et de l'analyse, est essentiel pour construire des bases solides pour la suite de votre parcours au lycée, notamment pour l'étude des fonctions et de la géométrie analytique. L'objectif de cette synthèse est de vous fournir une compréhension claire et structurée des différentes manières de représenter une droite mathématiquement, de manipuler ses équations et d'analyser ses propriétés. Dans ce guide complet, nous aborderons les équations cartésiennes et réduites, la notion de coefficient directeur et de vecteur directeur, ainsi que les méthodes pour déterminer la position relative de deux droites. Cette page se veut un support de révision approfondi, mais pour une vue d'ensemble synthétique avec tous les schémas et formules clés, n'hésitez pas à consulter la fiche PDF correspondante sur Galilee.ac.

Les Deux Formes Principales d'Équation d'une Droite

En géométrie analytique, une droite est un ensemble de points qui peut être décrit par une relation algébrique appelée équation. Il existe principalement deux formes d'équations pour caractériser une droite dans un repère orthonormé du plan, chacune ayant ses avantages et ses spécificités.

L'Équation Cartésienne : La Forme Générale ax + by + c = 0

L'équation cartésienne est la représentation la plus générale d'une droite. Toute droite du plan, sans exception, peut être décrite par une équation de la forme :

ax + by + c = 0

où a, b, et c sont des nombres réels, avec la condition que a et b ne soient pas simultanément nuls. Cette forme est particulièrement puissante car elle permet de modéliser toutes les droites, y compris les droites verticales, qui posent problème à l'autre type d'équation.

Le Vecteur Directeur : Le Guide de la Droite

Un concept intrinsèquement lié à l'équation cartésienne est celui du vecteur directeur. Un vecteur directeur, noté 𝑢⃗, est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite. Il indique l'orientation de la droite dans le plan. Pour une droite d d'équation cartésienne ax + by + c = 0, un vecteur directeur est donné par les coordonnées :

𝑢⃗(-b, a)

Par exemple, pour la droite d'équation 2x - 5y + 3 = 0, on a a = 2 et b = -5. Un vecteur directeur est donc 𝑢⃗(5, 2). Il est important de noter qu'il existe une infinité de vecteurs directeurs pour une même droite ; tous les vecteurs colinéaires à 𝑢⃗ (c'est-à-dire de la forme 𝑘𝑢⃗ avec 𝑘 ≠ 0) sont aussi des vecteurs directeurs.

Comment déterminer une équation cartésienne ?

Pour trouver l'équation cartésienne d'une droite, plusieurs méthodes existent :

• À partir d'un point et d'un vecteur directeur : Si vous connaissez un point A(xₐ, yₐ) de la droite et un vecteur directeur 𝑢⃗(-b, a), vous pouvez déterminer les coefficients a et b. L'équation sera de la forme ax + by + c = 0. Pour trouver la constante c, il suffit de substituer les coordonnées du point A dans l'équation, car A appartient à la droite : axₐ + byₐ + c = 0, ce qui donne c = -axₐ - byₐ.
• À partir de deux points : Si vous connaissez deux points distincts A(xₐ, yₐ) et B(xₒ, yₒ) de la droite, vous pouvez d'abord calculer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵⃗, qui est par définition un vecteur directeur de la droite : 𝐴𝐵⃗(xₒ - xₐ, yₒ - yₐ). En posant 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗, on a -b = xₒ - xₐ et a = yₒ - yₐ. Vous pouvez ensuite utiliser l'une des deux méthodes pour trouver c.

L'Équation Réduite : La Forme Fonctionnelle y = mx + p

L'équation réduite est une autre manière très fréquente de représenter une droite. Elle est particulièrement utile pour l'étude des fonctions affines. Sa forme est :

y = mx + p

Cette équation exprime directement l'ordonnée y en fonction de l'abscisse x. Cependant, elle a une limitation majeure : elle ne peut pas représenter les droites verticales (celles parallèles à l'axe des ordonnées), car pour ces droites, une même abscisse correspond à une infinité d'ordonnées, ce qui contredit la définition d'une fonction.

Le Coefficient Directeur m : La Pente de la Droite

Le coefficient m est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite. Il mesure l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

• Graphiquement, m représente la variation verticale (en y) lorsque l'on se déplace d'une unité horizontalement (en x) vers la droite.
• Si m > 0, la droite est croissante (elle "monte" de gauche à droite).
• Si m < 0, la droite est décroissante (elle "descend" de gauche à droite).
• Si m = 0, la droite est horizontale.

Pour calculer le coefficient directeur à partir de deux points distincts A(xₐ, yₐ) et B(xₒ, yₒ) d'une droite non verticale (avec xₐ ≠ xₒ), on utilise la formule :

m = (yₒ - yₐ) / (xₒ - xₐ)

L'Ordonnée à l'Origine p : Le Point de Départ

Le coefficient p est appelé l'ordonnée à l'origine. Il correspond à la valeur de l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Ce point a pour coordonnées (0, p). C'est en quelque sorte le "point de départ" de la droite sur l'axe des y.

Pour trouver p, une fois que le coefficient directeur m est connu, il suffit d'utiliser les coordonnées d'un point A(xₐ, yₐ) appartenant à la droite et de les substituer dans l'équation y = mx + p. On résout alors pour p :

yₐ = mxₐ + p ⇔ p = yₐ - mxₐ

Navigation entre les Équations : Conversion et Cas Particuliers

Savoir passer d'une forme d'équation à une autre est une compétence cruciale. Cela permet de choisir la représentation la plus adaptée au problème posé.

• De la cartésienne à la réduite : En partant de ax + by + c = 0, si b ≠ 0, on peut isoler y : by = -ax - c, ce qui donne y = (-a/b)x - (c/b). On identifie alors m = -a/b et p = -c/b. Si b = 0, l'équation devient ax + c = 0, soit x = -c/a, ce qui correspond à une droite verticale qui n'a pas d'équation réduite.
• De la réduite à la cartésienne : En partant de y = mx + p, il suffit de regrouper tous les termes d'un seul côté de l'égalité : mx - y + p = 0. C'est une équation cartésienne valide avec a = m, b = -1 et c = p.

Les Cas Particuliers à Maîtriser

Certaines droites ont des équations très simples qu'il faut savoir reconnaître immédiatement :

• Les droites horizontales : Parallèles à l'axe des abscisses, elles ont un coefficient directeur nul (m = 0). Leur équation réduite est de la forme y = k, où k est une constante. Leur équation cartésienne peut s'écrire 0x + 1y - k = 0.
• Les droites verticales : Parallèles à l'axe des ordonnées, elles ont une pente non définie. Elles n'admettent pas d'équation réduite. Leur équation est toujours de la forme x = k, où k est une constante. Leur équation cartésienne peut s'écrire 1x + 0y - k = 0.

Position Relative de Deux Droites : Parallèles ou Sécantes ?

Un des principaux objectifs de ce chapitre est de pouvoir déterminer, sans même les tracer, si deux droites se coupent et, si oui, où. Deux droites dans un plan peuvent être soit parallèles, soit sécantes.

Le Parallélisme : Une Question de Direction

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même direction.

• Avec les équations réduites : Deux droites d₁ et d₂ d'équations respectives y = m₁x + p₁ et y = m₂x + p₂ sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux : m₁ = m₂. Si de plus p₁ = p₂, les droites sont confondues (c'est la même droite). Si p₁ ≠ p₂, elles sont strictement parallèles.
• Avec les vecteurs directeurs : Deux droites d₁ et d₂ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs 𝑢⃗₁ et 𝑢⃗₂ sont colinéaires. La condition de colinéarité de deux vecteurs 𝑢⃗₁(x, y) et 𝑢⃗₂(x', y') est xy' - x'y = 0.

Le Point d'Intersection : La Solution d'un Système

Si deux droites ne sont pas parallèles, elles sont dites sécantes et se coupent en un unique point, appelé le point d'intersection. Les coordonnées (x, y) de ce point sont la solution unique du système d'équations formé par les équations des deux droites.

Considérons le système suivant pour les droites d₁ et d₂ :

{ a₁x + b₁y + c₁ = 0
{ a₂x + b₂y + c₂ = 0

Pour résoudre ce système, deux méthodes principales sont enseignées en classe de Seconde :

1. La méthode par substitution : On isole une inconnue (par exemple, y) dans l'une des équations, puis on remplace (on substitue) son expression dans la seconde équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue (x) que l'on peut résoudre. Une fois x trouvé, on le remplace dans l'expression de y pour trouver sa valeur.
2. La méthode par combinaison linéaire : On multiplie une ou les deux équations par des coefficients bien choisis afin que les coefficients d'une des inconnues deviennent opposés. En additionnant ensuite les deux équations membre à membre, cette inconnue s'élimine, nous laissant avec une équation à une seule inconnue.

Conclusion : Votre Trousse à Outils pour les Droites

Vous disposez maintenant d'un aperçu complet des concepts essentiels sur les droites du plan. De l'équation cartésienne et son vecteur directeur à l'équation réduite avec sa pente et son ordonnée à l'origine, vous avez les clés pour modéliser et analyser n'importe quelle droite. La capacité à jongler entre ces représentations, à identifier les cas particuliers et à déterminer la position relative de deux droites en résolvant un système d'équations est une compétence fondamentale. Elle vous sera indispensable pour la suite de votre apprentissage des mathématiques.

Pour une synthèse parfaite de toutes ces notions, illustrée de schémas clairs et regroupant toutes les formules à connaître, nous vous invitons à télécharger notre fiche de cours PDF complète. C'est l'atout idéal pour des révisions efficaces et pour vous préparer sereinement à votre prochaine évaluation.