7. Passer d'équation cartésienne à équation réduite

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir un exercice très simple qui consiste à donner l'équation réduite quand on vous donne l'équation cartésienne, et l'équation cartésienne quand on vous donne l'équation réduite. Autrement dit, passer du cartésien au réduit et du réduit au cartésien. On s'y met tout de suite.

Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite

Dans un sens, c'est très facile, et dans un autre sens, c'est plus compliqué. Si je demande l'équation réduite d'une équation cartésienne, c'est le sens qui est plus difficile. Pourquoi ? Parce qu'il va falloir transformer cette équation \(ax + by + c = 0\) en \(y = ax + b\). Comment allons-nous faire ça ? On voit que dans une équation réduite, \(y\) est tout seul d'un côté. Donc, on va modifier cette équation pour que \(y\) soit tout seul de son côté. Pour cela, on va commencer par passer \(-3x\) de l'autre côté. Comment est-ce que je vais faire ? Je vais ajouter ici \(+3x\) et ici \(+3x\), comme ça, \(-3x\) va se retrouver de l'autre côté. Donc, cette équation est strictement équivalente à \(2y = 3x - 5\). J'ai changé le signe de \(-3x + 5\) qui est devenu \(3x - 5\). Je suis presque là, je veux \(y\) tout seul. J'ai \(2y\), donc qu'est-ce que je fais ? Je vais tout diviser par deux. Comme ça, mon \(2y\) devient \(y\), et les deux vont se simplifier. Il va me rester \(y = \frac{3x - 5}{2}\). C'est presque fini. Je vous rappelle que je veux quelque chose de la forme \(y = ax + b\). Donc, je vais séparer cette soustraction en deux, c'est-à-dire que c'est \(\frac{3x}{2} - \frac{5}{2}\). Et je termine en disant que \(\frac{3x}{2}\) c'est comme \(1.5x\) et \(-\frac{5}{2}\) c'est comme \(-2.5\). Bingo ! J'ai \(y = ax + b\), j'ai bien une équation réduite. Maintenant que j'ai passé en équation réduite, je peux donner la valeur de la pente. La pente, c'est ce qu'il y a devant \(x\), ça s'appelle aussi le coefficient directeur, elle vaut \(1.5\).

Passer de l'équation réduite à l'équation cartésienne

Maintenant, prenons le cas dans l'autre sens. On vous demande de passer d'une équation réduite à une équation cartésienne. Vous vous dites, c'est pas compliqué. Quand j'ai une équation cartésienne, j'ai quelque chose de la forme \(ax + by + c = 0\). Donc là, je vais juste tout mettre du même côté. Par exemple, si j'ai \(y = 3x - 2\), je vais envoyer \(3x\) de l'autre côté de l'égalité et il va devenir \(-3x\). Donc, ça va faire \(y - 3x = -2\). Si je réarrange, j'obtiens \(-3x + y = -2\). Bingo ! J'ai bien une équation cartésienne. Je vais maintenant la passer sous la forme \(ax + by + c = 0\) pour pouvoir identifier qui est \(a\) et qui est \(b\). Donc, cette équation est l'équivalente à \(3x + y - 2 = 0\). Je sais que quand j'ai un vecteur directeur, mon vecteur est \(-b, a\), sachant que \(a\) est le coefficient de \(x\) et \(b\) celui de \(y\). Du coup, la valeur de \(b\) est \(1\), donc la valeur de \(-b\) est \(-1\), et la valeur de \(a\) est \(3\). Bingo ! J'ai un vecteur directeur de la droite. Il y a un sens où c'est compliqué, c'est le sens de passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite. Et un sens où c'est simple, c'est pour passer de l'équation réduite à l'équation cartésienne. On vous a mis des petits exercices en dessous pour que vous puissiez vous entraîner. À vous de jouer, vous êtes des champions !