3. Équation cartésienne à partir de deux points

Introduction

Allez les amis, on est parti pour un classique du contrôle : déterminer l'équation cartésienne d'une droite sachant qu'on a deux points de passage de cette droite. On s'y met tous.

Prérequis pour déterminer l'équation cartésienne d'une droite

Je vous rappelle que pour déterminer l'équation cartésienne d'une droite, il va vous falloir deux choses : un point de passage et un vecteur directeur. En l'occurrence, pour déterminer l'équation cartésienne de la droite AB, il y a une chose qui va être très simple à trouver, et c'est le point de passage. En effet, la droite AB passe par le point A et par le point B. Donc notre point de passage, on n'a qu'à le prendre tout simplement à A pour les coordonnées (1, 2). Le vecteur directeur, on le nomme le vecteur directeur de la droite AB. Il y en a une infinité, par exemple celui-là, il y a celui-là, mais le plus simple c'est de dire : je prends tout simplement le vecteur AB. Je suis capable de calculer ses coordonnées à partir des coordonnées de A et de celles de B. Les coordonnées du vecteur AB, la formule est la suivante : c'est la coordonnée de B en x moins celle de A en x, c'est la coordonnée de B en y moins celle de A en y. En l'occurrence, \(5 - 1\) et \(14 - 2\), c'est-à-dire \(4, 12\).

Calcul de l'équation cartésienne

Formidable, j'ai les coordonnées du vecteur directeur, c'est \(4, 12\), et j'ai les coordonnées du point de passage, c'est \(1, 2\). J'ai plus qu'à remplacer. Pourquoi ? Parce que ce que je dis ici, c'est \(a = 12\) et \(b = 4\). Donc mon équation qui s'écrit \(ax + by + c = 0\), je sais que je vais pouvoir remplacer \(a\) par \(12\), donc j'aurais \(12x\), et \(b\) vaut \(4\), donc je mets \(-4y + c = 0\). Formidable, j'ai trouvé \(a\) et \(b\), il me reste plus qu'à trouver \(c\). Comment est-ce que je vais faire pour trouver \(c\) ? Je prends les coordonnées de A, qui est un point de passage, je vais les remplacer dans \(x\) et \(y\), et je vais isoler \(c\). Donc ce que j'ai le droit de dire, c'est que \(12 \times 1 - 4 \times 2 + c = 0\). \(12 \times 1\) ça fait \(12\), \(-4 \times 2\) ça fait \(-8\), \(12 - 8\) ça fait \(4\), donc \(c = -4\). Et je n'ai plus qu'à remplacer dans mon équation \(12x - 4y + c = 0\), je remplace \(c\) par \(-4\), donc j'obtiens \(12x - 4y - 4 = 0\). C'est fait, j'ai trouvé l'équation de la droite AB.

Récapitulatif

Pour trouver l'équation de la droite AB, le point de passage, je prends A, mais j'aurais aussi pu prendre B. Le vecteur directeur, c'est le vecteur AB que je calcule en utilisant la formule à partir de A et de B. On vous a mis des petits exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.