2. Lire un vecteur directeur à partir de l'équation cartésienne

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une compétence un peu particulière puisqu'on va partir de l'équation cartésienne d'une droite et on vous demande de déterminer deux vecteurs directeurs de cette droite. On s'y met tout de suite.

Formules et premières étapes

Avant de chercher deux vecteurs directeurs, je vous propose qu'on commence par en trouver un seul. Je vous rappelle les formules que vous avez à votre disposition. Vous savez que \(ax + by + c = 0\) est une équation cartésienne d'une droite dirigée par un vecteur dont les coordonnées sont \(-b, a\). Autrement dit, la coordonnée que je lis devant \(x\) est celle que je vais trouver en deuxième position dans mes vecteurs et la coordonnée que je lis devant \(y\) est celle qui va être en premier avec un signe moins. Du coup, la coordonnée devant \(x\) ici est 2 et la coordonnée devant \(y\) est -5. Donc, un vecteur directeur de ma droite que je peux appeler par exemple le vecteur \(d\), a pour coordonnées \((5, 2)\).

Trouver un deuxième vecteur directeur

Maintenant, regardons comment trouver un deuxième vecteur directeur. Je vous rappelle que pour écrire l'équation d'une droite, vous avez besoin de deux choses : un point de passage et un vecteur directeur. Si le vecteur \(d\) donne la bonne direction de la droite, alors un vecteur qui serait par exemple deux fois plus long devrait aussi diriger la droite. Autrement dit, le vecteur \(2d\) est aussi un vecteur directeur de ma droite. De même, le vecteur \(-d\), le vecteur \(-2d\), le vecteur \(\frac{1}{3}d\), le vecteur \(\frac{1}{4}d\), bref tous les vecteurs qui sont colinéaires à \(d\) sont des vecteurs directeurs de la droite. Donc, le vecteur \(2d\) en particulier, sachant que vous avez le vecteur \(d\), vous avez juste à multiplier les coordonnées du vecteur \(d\) par deux. Donc, les coordonnées du vecteur \(2d\) vont être \(5 \times 2 = 10\) et \(2 \times 2 = 4\). J'ai donc trouvé mon deuxième vecteur directeur. Pour conclure, que vous écriviez vos vecteurs en colonnes ou en lignes, c'est exactement la même chose. On vous a mis des tonnes de petits exercices en dessous qui sont extrêmement faisables. Entraînez-vous et on passe à la suite. À vous de jouer !