11. Résolution de systèmes par substitution

Introduction

Allez les amis, aujourd'hui on est parti pour une compétence ultra importante. Il s'agit de résoudre un système d'équations avec la méthode de la substitution. Consignes et toutes deux choses : qu'est-ce que c'est qu'un système d'équations ? Qu'est-ce que c'est que la substitution ? Un système d'équations, c'est un ensemble d'équations, en l'occurrence une et deux, groupées ensemble avec un certain nombre d'inconnues, en l'occurrence \(x\) et \(y\). On retrouve ici donc les équations \(ca3 = 0\). C'est un système d'équations avec une équation, une inconnue. Et là, vous avez un système avec deux équations et deux inconnus.

Méthode de substitution

Comment est-ce qu'on va faire pour appliquer la substitution ? La substitution, c'est la méthode que vous préférez le plus et c'est la méthode qui est pourtant la moins efficace. Donc on va apprendre à faire ça et ensuite on va voir dans une autre vidéo la méthode par combinaison qui est beaucoup plus puissante, est beaucoup plus efficace. Dans les substitutions, c'est pas compliqué, on va se servir de la première ligne pour isoler une des deux inconnues. Donc là, je dis que ce système là est strictement équivalent à ce système là et je vais modifier petit à petit ce système pour arriver à le résoudre. Donc la première, on n'y touche pas, je la recopie telle quelle : \(2x - y = 1\). Dans la deuxième, je vais m'arranger pour avoir \(x\) tout seul, pour isoler \(x\). Donc comment est-ce que je vais faire ? \(c + y\) je vais passer de l'autre côté, il va devenir \(-y\). Donc je vais avoir \(x = -c - y\). Pourquoi est-ce que je fais ça ? Parce que une fois que j'ai isolé mon \(x\), c'est-à-dire \(-c - y\), j'ai le droit de venir le mettre à la place du \(x\) qui est au-dessus. Du coup, mon système devient : je ne touche plus à la deuxième ligne, \(x = -c - y\), sauf que la première, au lieu d'écrire \(2x - y = 1\), je vais écrire \(2(-c - y) - y = 1\).

Résolution du système

Pourquoi faire ça ? Pourquoi s'embêter à faire cette manipulation ? Parce que maintenant, la première ligne, c'est la panacée, je n'ai plus de \(x\), donc j'ai plus qu'une seule inconnue. Du coup, cette équation devient très simple à résoudre. Je continue avec mes équivalences. Je ne touche toujours pas à la deuxième ligne, donc \(x\) est toujours égal à \(-c - y\). Je vais développer ça : \(2(-c) - 2y - y = 1\). Je continue jusqu'à ce que j'obtienne la première ligne. Donc la première ligne, la deuxième ligne, on n'y touche pas. \(-2c - 2y - y\) ça fait \(-3y\). Donc j'ai \(-3y = 1 + 2c\). Donc \(-3y = 1 + 2c\). C'est une équation, je divise tout par \(-3\) et par \(-1\), ça me fait \(y = -1\). Bingo, j'ai une des deux inconnues. Et \(x\) est bien \(-c - y\), sauf que une fois que j'ai trouvé \(y\), je peux, de la même manière que ici, j'ai remplacé \(x\) dans l'équation, prendre la valeur de \(y\), c'est-à-dire \(-1\), et la remplacer ici. Et je trouve que \(x = -c - (-1)\), donc \(x = -c + 1\). Donc les solutions sont \(x = 0\) et \(y = -1\). Une, deux, trois, quatre, cinq, six, sept étapes avant d'arriver à la résolution. Dans la prochaine compétence, on va faire exactement ce système d'équations là, sauf qu'on va le résoudre par combinaison. Vous allez voir à quel point c'est puissant. On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer. Vous êtes des champions. [Musique]