10. Simplification des racines carrées

Introduction

Allez les amis, c'est parti pour les trois règles qui vont vous permettre de simplifier n'importe quelle racine.

Première règle : Racine d'un nombre au carré

La première règle est que la racine d'un nombre au carré, si ce nombre est positif, est égale à ce nombre. Par exemple, \(\sqrt{3^2}\) donne 3. Attention, \(\sqrt{(-3)^2}\) ne donne surtout pas -3. Il faut que le nombre qui est au carré soit positif.

Deuxième règle : Racine d'une puissance

Ensuite, la racine d'une puissance est égale à la racine de la base de cette puissance divisée par deux. Par exemple, \(\sqrt{2^4}\) donne \(2^{4/2}\), donc ça donne 2. Vous pouvez enlever la racine en divisant ce nombre-là par deux.

Troisième règle : Produit de racines

La troisième règle est que le produit de racines est égal au produit des racines. Donc, comment simplifier l'expression \(\sqrt{36}\)? Encore une fois, vous allez vous retrouver à devoir prendre le nombre à l'intérieur de la racine et le décomposer. Dans ce cas, c'est un produit, donc \(\sqrt{36}\) est égal à \(\sqrt{6 \times 6}\), donc c'est égal à \(\sqrt{6^2}\). Or, la racine d'un nombre au carré, si ce nombre est positif (ce qui est le cas ici), donne ce nombre. Donc, \(\sqrt{36}\) donne 6.

Exemple compliqué

Regardons un exemple plus compliqué. Comment simplifier \(3\sqrt{28} + 2\sqrt{63}\)? Alors, on va commencer par décomposer les racines en des produits de petits nombres. Donc, \(3\sqrt{28}\) est comme \(3 \times \sqrt{14 \times 2}\) et \(2\sqrt{63}\) est comme \(2 \times \sqrt{3 \times 21}\). En continuant à décomposer, on obtient \(3 \times \sqrt{14 \times 2} + 2 \times \sqrt{3 \times 7 \times 3}\). Maintenant, on peut utiliser la formule \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour casser ces deux racines. Donc, ça donne \(3 \times \sqrt{14} \times \sqrt{2} + 2 \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{7}\). Maintenant, on peut dire que \(\sqrt{2^2}\) donne 2 et \(\sqrt{3^2}\) donne 3. Donc, ça donne \(3 \times \sqrt{14} \times 2 + 2 \times 3 \times \sqrt{7}\). Enfin, on peut factoriser par \(\sqrt{7}\) pour obtenir \(3 \times 2 \times \sqrt{14} + 2 \times 3 \times 2\), ce qui donne \(12\sqrt{14}\). Donc, on peut passer de \(3\sqrt{28} + 2\sqrt{63}\) à \(12\sqrt{14}\). Les calculs sur les racines demandent de l'entraînement. Nous avons préparé des exercices spéciaux qui reprennent exactement cette forme là. Ils sont corrigés, donc ça ne peut que vous faire du bien.