Résoudre une équation avec sinus dans ℝ: exercices corrigés 🚀

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Pour aller plus loin : Contrôles sur ce chapitre 🎯

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Introduction

Dans cette leçon, nous allons aborder des petites sections avec le sinus. La technique est légèrement différente de celle utilisée avec le cosinus. Nous allons transformer notre équation \( \sin(x) = \sqrt{2}/2 \) en une expression de la forme \( \sin(x) = \sin(\text{quelque chose}) \) pour pouvoir simplifier après.

Transformation de l'équation

Nous avons donc \( \sin(x) = \sqrt{2}/2 \). Je remets des valeurs que je connais, cela va me donner \( \pi/3 \), \( \pi/4 \) et \( \pi/6 \). Cette fois-ci, je vais utiliser des valeurs de sinus. Rappelons que le cosinus se lit là et le sinus ici. Donc, quand vous avez une équation à résoudre, c'est là que la verticale coupe le cercle trigonométrique. Je mets les valeurs de mes sinus en faisant \( \sqrt{1}/2 \), \( \sqrt{2}/2 \) et \( \sqrt{3}/2 \). Je veux que le sinus de \( x \) soit égal à \( \sqrt{2}/2 \). Je demande donc à quelle de ces trois valeurs me donne \( \sqrt{2}/2 \). C'est celle-là, donc c'est \( \pi/4 \) qui correspond. Donc, je peux écrire que \( \sin(x) = \sin(\pi/4) \).

Simplification de l'équation

Maintenant, qu'est-ce qui se passe ? Ce qu'on a envie de faire, c'est de simplifier et de dire qu'on a directement \( x = \pi/4 \). C'est vrai si \( \sin(x) = \sin(\pi/4) \). Sauf qu'on est en train d'oublier la moitié du problème. Parce que regardons, cette valeur de \( \sqrt{2}/2 \) on peut l'atteindre avec \( \pi/4 \) mais on peut aussi l'atteindre avec la valeur qui est symétrique de l'autre côté. Pour atteindre cette valeur là, on va dire c'est pas compliqué, j'ai \( \pi/4 \), je cherche cet angle ici. Comment est-ce que je peux le trouver ? Eh bien, je vais utiliser le fait que je connaisse la valeur du demi-cercle. Parce que l'angle vert que vous recherchez, c'est le demi-cercle, c'est-à-dire \( \pi - \) l'angle rouge là-bas. Donc ma deuxième solution, c'est \( x = \pi - \pi/4 \), c'est-à-dire \( \pi - \) l'angle que j'ai trouvé par ailleurs. Si on simplifie, ça donne \( 4\pi/4 - \pi/4 = 3\pi/4 \). Est-ce que je m'arrête là ? C'est-à-dire, une fois que j'ai trouvé \( \pi/4 \) et \( 3\pi/4 \) qui effectivement me donnent tous les deux \( \sqrt{2}/2 \), est-ce que je peux dire que j'ai trouvé toutes les valeurs de \( x \) ? Non, parce que vous savez que \( \pi/4 + 2\pi \) me donne \( \sqrt{2}/2 \), \( 3\pi/4 + 2\pi \) me donne aussi \( \sqrt{2}/2 \) et \( \pi/4 + 4\pi \) donne aussi \( \sqrt{2}/2 \). Donc encore une fois, il faut rajouter \( +2k\pi \) avec \( k \) qui appartient à \( \mathbb{Z} \), c'est-à-dire que \( k \) est un entier.

Conclusion

Vous voyez que les équations avec le sinus sont légèrement plus compliquées que les équations avec le cosinus. N'hésitez pas à vous entraîner, nous avons mis des exercices en bas. Cela tombe souvent au contrôle.

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