2. Trouver la forme explicite d'une suite arithmétique

Introduction

Allez, on est parti pour la première compétence du chapitre sur les suites arithmétiques et les suites géométriques. Cette compétence, c'est vraiment la plus basique de toutes, c'est celle qui va consister à passer d'une forme récurrente à une forme explicite.

Forme explicite d'une suite

Ces exercices se présentent toujours de la même manière : pour chacune des suites, donner sa forme explicite. Maintenant, vous savez ce que c'est, la forme explicite d'une suite. C'est la forme de la suite qui dépend directement de \(n\), pas de \(u_n\). Autrement dit, exprimer la suite en fonction de \(n\), c'est exactement la même chose. Donc, comment ça se passe en pratique ? Vous avez cette formule : quand vous avez une suite qui s'écrit \(u_{n+1} = u_n + r\), c'est-à-dire une suite où je passe du terme précédent au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre (c'est-à-dire une suite arithmétique), j'ai le droit d'utiliser la formule qui s'affiche, c'est-à-dire que la formulation explicite, c'est \(u_n = u_p + (n - p) \times r\).

Exemples d'application

Prenons un exemple : \(u_{n+1} = u_n + 7\) et \(u_0 = 2\). Je cherche à la mettre sous la forme \(u_{n+1} = u_n + r\). Une fois que c'est fait, je peux identifier quelle est la raison. Dans ce cas, la raison est 7 et mon premier terme est 2. J'applique ma formule : \(u_n = u_0 + n \times r\), donc \(u_n = 2 + n \times 7\). Regardons ce qui se passe quand on a un autre terme. Par exemple, \(u_{n+1} = u_n - 3\) et \(u_2 = 5\). On commence par mettre sous la forme \(u_{n+1} = u_n + r\), donc \(u_{n+1} = u_n - 3\). Ma raison est -3 et mon premier terme est 5. J'applique ma formule : \(u_n = u_2 + (n - 2) \times (-3)\), donc \(u_n = 5 - 3 \times (n - 2)\). C'est aussi simple que ça. Dites-vous que dès que vous avez une suite sous forme récurrente et qu'elle est arithmétique, vous pouvez balancer directement la suite explicite, la forme explicite de cette suite. Et ça, c'est ultra puissant. À vous de jouer maintenant.