10. Étudier les variations d'une suite géométrique

Introduction

Allez les amis, courage ! On va s'attaquer aux variations des suites arithmétiques et géométriques. C'est parti pour étudier les variations de suite géométriques. Deux choses qu'il faut regarder : la raison et le premier terme. Je vous donne un exemple tout simple.

Premier exemple

Prenons cette suite : \(u_{n+1} = 2u_n\). Donc, on voit pour la question que c'est une suite qui est clairement arithmétique ou géométrique. C'est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme \(u_0\). Donc, l'expression récurrente de la suite sera \(u_n = 2^n\). Maintenant, j'aimerais qu'on s'intéresse à \(2^n\). Si je m'amusais à afficher \(2^n\), on voit clairement que la suite est croissante. C'est le sens du tableau qui apparaît sur la droite. Quand \(q\) est plus grand que 1, donc compris entre 1 et plus infini, \(q^n\) est croissant. Donc pour cette suite là, \(2^n\) est croissant. Or, moi j'ai pas que \(2^n\), j'ai le premier terme fois \(2^n\). Le premier terme est positif, donc quand je prends un nombre positif et que je le multiplie par une suite croissante, ça reste croissant. Donc la première suite elle est croissante.

Deuxième exemple

Maintenant, prenons l'exemple de la deuxième suite. Elle s'écrit \(v_n = -2 \times 3^n\). Si je regarde mon tableau, \(3^n\) est croissant car 3 est plus grand que 1. Sauf que par quoi je vais multiplier ? Je vais le multiplier par un nombre négatif. Si je prends une suite croissante et que je multiplie par un nombre négatif, c'est comme si je la retournais vers le bas. Donc, \(3^n \times -2\) fait une suite décroissante, alors que \(2^n\) multiplié par 2 fait une suite croissante. Donc, il faut d'abord que vous vous demandiez comment est la raison de la suite. Si la raison de la suite est comprise entre 1 et plus infini, alors \(q^n\) est croissant. Ensuite, vous vous demandez ce que vaut le premier terme. Si le premier terme est positif, un truc positif fois une suite croissante fait une suite croissante. Si le premier terme est négatif, un truc négatif fois une suite croissante fait une suite décroissante.

Troisième exemple

Prenons maintenant l'exemple de la suite \(x_n = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Ici, la raison vaut \(\frac{1}{2}\), qui est comprise entre 0 et 1. Donc, \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) est décroissant. Cependant, je multiplie par \(\frac{1}{3}\), qui est positif. Donc, une suite décroissante multipliée par quelque chose de positif donne une suite décroissante.

Conclusion

Entraînez-vous, mémorisez ce tableau car vous allez voir que juste après on va faire la même chose avec les limites et qu'il y a un tableau similaire avec des limites. Donc, si ce truc là n'est pas clair, vous allez tous vous mélanger et ce sera fini. Entraînez-vous, fichez le tableau. À vous de jouer !