7. Calculer une probabilité conditionnelle dans un arbre

Introduction

Allez les amis, on va voir comment on peut calculer \(P(B|A)\) sachant \(B\) en utilisant un tableau et les données de l'énoncé. On y va pour calculer une probabilité conditionnelle. Il vous faut la formule que vous avez : \(P(B|A)\) c'est la probabilité de l'intersection des deux événements divisée par la probabilité de l'événement qui est au dénominateur.

Formule de la probabilité conditionnelle

Retenez bien : celle qui est en dessous, c'est le "sachant que". Donc, on vous donne dans l'énoncé des données pour \(P(A)\), \(P(B)\), et \(P(A \cap B)\), et on vous demande de compléter le tableau qui représente l'arbre des probabilités. Comment se note cette probabilité ? On a l'événement \(A\) qui est validé, donc ça va être une probabilité sachant \(A\). La probabilité de quoi ? Sachant \(A\), la probabilité de \(B\). Donc, \(P(B|A)\) qui, d'après l'équation que je vous ai indiquée, vaut \(P(A \cap B) / P(A)\).

Exemple de calcul

Vous vous rendez compte que le calcul se fait bien, parce que \(P(A \cap B)\) nous a été donnée : 0,48 et \(P(A)\) vous pouvez la lire ici : 0,6. Donc, ça nous donne \(0,48 / 0,6 = 0,8\). Ce qui implique que la somme de celle-ci et de celle-là vaut 1. Donc, combien vaut \(P(\overline{B}|A)\) ? Elle vaut \(1 - 0,8 = 0,2\). On recommence avec celle-ci. Comment la note-t-on ? On a l'événement \(\overline{A}\) qui est validé et je cherche la probabilité de \(B\). Donc, c'est \(P(B|\overline{A})\) qui vaut \(P(B \cap \overline{A}) / P(\overline{A})\). Si on regarde dans l'énoncé, \(P(\overline{A}) = 0,4\) et \(P(B \cap \overline{A}) = 0,36\). Donc, \(P(B|\overline{A}) = 0,36 / 0,4 = 0,9\). Du coup, \(P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 - 0,9 = 0,1\). Et voilà, c'est terminé. À vous de jouer maintenant.