13. Trouver une probabilité conditionnelle avec les probabilités totales

Introduction

Allez les amis, on va faire un premier exercice de type contrôle. Donc, c'est ce que vous risquez d'avoir au contrôle. L'idée c'est ça : on va vous donner un arbre qui a une probabilité totale, la probabilité de l'événement qui n'est pas en premier mais la probabilité d'événements qui est en deuxième et on va vous demander de compléter le tableau.

Étape 1 : Compléter le tableau

La première étape c'est de compléter tout ce qui est simple à compléter. Donc ici, j'ai quelque chose à faire. Si j'ai \(0,3\), je vous rappelle que la somme des deux probabilités d'une branche vaut \(1\). Donc là, je vais avoir \(0,7\). Ici pareil, je vais avoir \(0,8\) parce que \(0,8\) puis \(0,2\) ça fait \(1\).

Étape 2 : Utiliser la loi des probabilités totales

Maintenant, on va regarder à quoi ça peut nous servir cette probabilité. Ce qu'on va faire c'est que la probabilité inconnue, on ne la connaît pas, donc c'est à vous de la déterminer. Donc moi, je vais l'appeler \(x\) et ensuite je vais utiliser ça pour faire ma loi des probabilités totales. Donc \(P(Y)\) d'après la loi des probabilités totales, c'est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à \(Y\). Donc \(0,3 \times 0,8 + 0,7 \times x\). Maintenant, je peux remplacer \(P(Y)\) par sa valeur \(0,52\). Ça fait \(0,24 + 0,7x\). Et maintenant, on a une équation toute simple avec \(x\), ce qu'on recherche. Donc, j'ai juste à passer mon \(0,24\) de l'autre côté, ça me fait \(0,28 = 0,7x\). Et maintenant, je prends mon \(0,28\) et je le divise par \(0,7\), ça me fait \(x = 0,4\). Donc, j'ai trouvé que \(x = 0,4\) et du coup, j'ai cette valeur là aussi \(0,6\). Et c'est terminé. Donc, dites-vous bien que quand vous allez arriver dans le contrôle, on va vous donner toujours une des branches avec rien et la probabilité totale. Vous écrivez votre loi des probabilités totales en mettant une inconnue ici, vous résolvez l'équation, vous trouvez l'inconnu et vous n'avez plus qu'à faire \(1\) moins ce que vous avez trouvé pour avoir la dernière branche. À vous de jouer, on vous en a mis juste en dessous sur plusieurs fronts.