10. Calculer la probabilités d'une union à l'aide d'un arbre

Introduction

Salut à tous, aujourd'hui nous allons voir la formule de l'union des probabilités dans un arbre conditionnel. C'est parti !

Formule de l'union des probabilités

La formule qui s'affiche à l'écran vous permet de répondre à cette question : comment calculer \(P(A \cup B)\) sachant que vous avez le tableau ? Donc, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Mais voyons ce qui nous est donné facilement par les nœuds de cet arbre. Quand je regarde l'arbre, je vois que \(P(A) = \frac{3}{7}\). Est-ce que \(P(B)\) est donné dans ce tableau ? Non, parce que pour que \(P(B)\) soit donné directement, il aurait fallu que \(B\) soit à la place de \(A\). Donc, pour calculer \(P(B)\), on va utiliser la loi des probabilités totales que nous avons vu dans une vidéo précédente : \(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\).

Calcul de l'union des probabilités

Comment calculer \(P(A \cap B)\) et \(P(\overline{A} \cap B)\) ? Pour \(P(A \cap B)\), c'est simple, c'est le produit de la probabilité de \(A\) et de la probabilité de \(B\) sachant \(A\), donc ça me fait \(\frac{3}{7} \times 0.3\). Pour \(P(\overline{A} \cap B)\), c'est le produit de la probabilité de \(\overline{A}\) et de la probabilité de \(B\) sachant \(\overline{A}\), donc ça me fait \(\frac{4}{7} \times 0.5\). En sommant ces deux résultats, on obtient \(P(B) = \frac{0.9}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2.9}{7}\). Maintenant, pour calculer \(P(A \cup B)\), on utilise la formule de l'union des probabilités : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{7} + \frac{2.9}{7} - \frac{0.9}{7} = \frac{5}{7}\). Donc, pour calculer l'union, vous allez avoir besoin de la formule des probabilités totales et de la formule de l'intersection. Cet exercice est vraiment quelque chose que vous risquez d'avoir au contrôle parce qu'il nécessite que vous maîtrisiez plusieurs compétences en amont pour y arriver. Entraînez-vous, on vous en a montré la méthode.