9. Résoudre une équation du second degré avec le discriminant - Cas particuliers

Introduction

Comment agit-on face à une équation avec un polynôme du second degré ? Prenons par exemple l'équation suivante : \(x^2 - \frac{9}{x+1} + 1 = 0\). C'est un cas complexe sur lequel vous risquez de tomber lors d'un contrôle.

Les cas de résolution d'équations

Rappelons ce que nous avons vu jusqu'à présent. Vous savez résoudre un certain nombre de situations. Par exemple, vous savez résoudre un polynôme égal à zéro, donc \(P(x) = 0\), aucun problème. Vous savez résoudre \(P(x) \times Q(x) = 0\), dans ce cas, soit \(P(x)\) vaut 0, soit \(Q(x)\) vaut 0. Vous savez aussi résoudre \(P(x) / Q(x) = 0\). Ce sont littéralement les trois seuls cas que vous avez à résoudre : soit un polynôme tout seul, soit un produit de polynômes qui vaut 0, soit un quotient de polynômes qui vaut 0.

Transformation du polynôme

Quand on est face à un polynôme comme celui donné en exemple, on va le transformer en un des cas précédemment cités. Dans cet exercice, on voit clairement qu'il y a une fraction. Cela signifie qu'il va falloir transformer cette fraction en un quotient pour se retrouver dans le cas numéro 3, c'est-à-dire quand \(P(x) / Q(x) = 0\). Pour ce faire, on va tout mettre au même dénominateur. Le dénominateur ici est \(x - 1\). On va donc prendre le terme \(x + 3\) et le multiplier par \(x - 1\) et le diviser par \(x - 1\). De cette manière, on peut écrire que cette équation est strictement équivalente à \(\frac{x^2 - 9 + (x + 3)(x - 1)}{x - 1} = 0\). En développant le polynôme en haut, on obtient \(\frac{2x^2 + 2x - 12}{x - 1} = 0\). En remarquant qu'il y a un facteur 2 commun, on peut simplifier pour obtenir \(\frac{2(x^2 + x - 6)}{x - 1} = 0\).

Résolution de l'équation

On est maintenant dans la forme \(P(x) / Q(x) = 0\), donc on sait que c'est forcément le numérateur qui va être égal à zéro. On résout donc l'équation \(x^2 + x - 6 = 0\). Le discriminant \(\Delta\) vaut \(1 + 24 = 25\), donc il a deux racines : \(x_1 = -1 - \sqrt{5}/2\) et \(x_2 = -1 + \sqrt{5}/2\). On obtient donc les solutions \(x_1 = -3\) et \(x_2 = 2\). En conclusion, les solutions de l'équation initiale sont l'ensemble \(-3, 2\).