7. Résoudre une équation produit de deux polynômes du second degré

Introduction

Allez les amis, on est parti pour résoudre ce type d'exercice qui a l'air ultra compliqué mais qui est en fait d'une simplicité totale. Comment faire quand j'ai une équation de la forme \(3x^2 - 2x + 1 = 0\) et \(x^2 - 1 = 0\)? Autrement dit, comment est-ce que je gère les produits nuls de polynômes?

Principe des produits nuls

Je vous rappelle que de manière très générale, et ça vous le savez depuis longtemps même si en général tout le monde oublie et même les terminales, quand j'ai deux nombres \(A\) et \(B\) et que ces deux nombres valent 0 quand je les multiplie, il n'y a pas 36000 solutions. Si je prends deux nombres positifs et que je les multiplie ensemble, ça ne fait pas 0. Si je prends deux nombres négatifs et que je les multiplie, ça ne fait pas 0. Si j'en prends un négatif et un positif et je multiplie, ça ne fait toujours pas 0. Donc en fait, la seule possibilité c'est qu'il y en ait au moins un des deux qui soit égal à zéro, sinon ça ne fera pas 0. Du coup, quand j'ai un produit \(A \times B\) qui vaut 0, je me retrouve nécessairement avec soit \(A\) qui vaut 0, soit \(B\) qui vaut 0.

Application à notre équation

Donc ici, ce qu'on va faire, c'est plutôt que de se taper cette grande équation, on va la transformer en deux petites équations qui sont la première \(3x^2 - 2x + 1 = 0\) et la deuxième \(x^2 - 1 = 0\). Ensuite, on fera deux fois le calcul du discriminant et on fera deux fois le calcul de racine. Je vous propose une petite astuce vraiment élégante. On va légèrement la modifier en faisant apparaître une identité remarquable ici. Donc ça va devenir \(3x^2 - 2x + 1\) (ça, j'y touche pas parce que, a priori, je ne sais pas le modifier) multiplié par \(x^2 -1\). On remarque que c'est un \(a^2 - b^2\). Du coup, je vais mettre la forme développée de ce \(a^2 - b^2\), c'est-à-dire \(x -1\) fois \(x + 1\). Pourquoi est-ce que j'ai fait ça? Parce que je me retrouve du coup avec un produit du style \(A \times B \times C = 0\). Mais les gars, ça marche exactement pareil que vous ayez \(A \times B = 0\) ou que vous ayez \(A \times B \times C = 0\). C'est toujours le même principe : soit le premier vaut 0, soit le deuxième vaut 0, soit le troisième vaut 0. Donc j'ouvre une grande parenthèse : soit \(3x^2 - 2x + 1 = 0\), soit \(x - 1 = 0\), soit \(x + 1 = 0\). Et vous remarquerez que les deux dernières équations \(x - 1 = 0\) et \(x + 1 = 0\) sont ultra faciles à résoudre : \(x - 1 = 0\) ça veut dire \(x = 1\), \(x + 1 = 0\) ça veut dire \(x = - 1\).

Résolution de l'équation

Donc soit \(x = 1\), soit \(x = - 1\). Quand je vais essayer de résoudre l'équation, je vous le fais, je mets un petit coup de Delta. Delta vaut \(B^2 - 4AC\), donc \(4 - 4 \times 3 \times 1\), ça me fait -8. Oh, un Delta négatif, quelle tristesse! Mais vraiment quelle tristesse, parce que ça veut dire que cette équation là, elle n'a pas de solution. Et oui, les gars, quand on a un Delta négatif, en fait la plupart du temps vous êtes là : "C'est Delta, le Delta est négatif, qu'est-ce que je fais, je suis en panique". Mais bonne nouvelle, un Delta négatif, pas de racine à calculer, pas de solution. Et du coup, mon gros système de tout à l'heure, il a finalement que deux solutions, c'est \(x = 1\) ou \(x = -1\). Et vous pouvez l'écrire \(S = \{-1, 1\}\). En attendant, ça tombe bien parce que juste en dessous, on vous amène une tripotée d'exercices comme ça, vous allez kiffer des trucs ultra progressifs. Vous pouvez mettre vos petites saisies et tout ça marche trop bien. À vous de jouer, vous êtes des champions!