26. Problème d'optimisation d'aire - Valeur maximale ou minimale

Introduction

Allez, on est parti pour le deuxième type d'exercice d'optimisation des ressources. On vous donne une figure, on vous donne quelques informations concernant la figure, on fait apparaître un mix et on va vous demander à la fin pour quelle valeur de \(x\), \(l\) est maximale ou minimale. Comme on est dans le chapitre de la note du second degré et que vous entendez le mot maximale ou minimale, vous devez penser instantanément au tableau de variation et du coup à la forme canonique.

Prise des données

On est parti donc on prend les données. Les données dénoncent que \(ABCD\) est un carré de côté \(12\) cm. Je veux faire apparaître ici mon \(12\) cm. J'aurais aussi pu le faire apparaître ici parce que vous savez que le principe d'un carré c'est que tous les côtés ont la même longueur. On vous dit que \(AMLP\) est un carré de côté \(x\) cm, donc ici \(x\) cm et ici \(x\) cm. Première question : à quel intervalle appartient \(x\) ? On sait que \(x\) c'est cette distance là ou alors cette distance là, comme vous voulez. La longueur totale du côté c'est \(12\) cm donc si la longueur \(x\) c'est la distance à \(L\), on sait que ce point \(L\) on peut s'amuser à le faire se balader sur tout le côté là. Donc il prend les valeurs comprises entre \(0\) et \(12\) cm. Quand \(L\) est ici, \(x\) est à \(0\) cm, c'est-à-dire qu'on a tout ce segment de longueur. Donc je sais que mon \(x\) il va appartenir à l'intervalle \([0, 12]\) cm.

Expression de l'aire en fonction de \(x\)

Voilà pour la question \(a\). Exprimez l'aire bleue en fonction de \(x\). C'est là que l'art de la géométrie va faire un peu de géométrie. Vous avez plusieurs options. Évidemment que c'était on va les séparer en deux, on va dire que c'est d'abord ce triangle là et ensuite ce trapèze là. Pour l'aire du triangle, je vous fais confiance, l'aire d'un triangle c'est côté fois côté divisé par deux. Quand ce triangle est rectangle comme ici et il est rectangle ici on et donc s'étendre met à l'angle droit côté fois côté divisé par deux pour cette figure là. Pour ce \(ABCD\), c'est clairement un trapèze. Le problème c'est que à ce stade du contrôle soit vous vous souvenez de la formule du trapèze soit vous vous dites même mais comment est-ce que je me débrouille pour moi je veux faire comme si je l'avais oubliée. Je les sépare encore en deux donc j'ai un rectangle ici et un triangle rectangle ici donc je peux de nouveau utiliser ma formule côté fois côté divisé par deux. Allez, on s'y connecte donc déjà on fait apparaître des valeurs qui sont importantes. Donc si la \(x\) si cette longueur la fait \(x\), la longueur totale ici fait \(12\). Celle que j'ai ici c'est tout simplement la longueur totale donc \(12\) auquel je vais enlever ce petit bout c'est-à-dire \(x\). Pareil pour ici \(12 - x\). Cette longueur là elle fait aussi \(12\), la longueur \(AB\) et je veux aussi lui enlever ce segment là donc là je me retrouve avec \(12 - x\). Est-ce que je retrouve aussi évidemment là ici \(x\) et ici \(x\). Là vous avez à peu près tout ce dont vous avez besoin. Allez, on va rajouter encore une fois ici, vous vous avez tous aux engrais l'un pour commencer. Donc mon aire totale \(l\) elle vaut premièrement l'aire de ce triangle \(a\) plus l'aire de cette figure \(b\) plus l'aire de ce triangle \(ac\). Donc commençons avec le triangle \(NPD\) est un triangle rectangle. Mon aire c'est côté fois côté divisé par deux donc \(12 - x \times x / 2\). Pour l'aire de ce triangle à ses côtés \(12 - x \times x / 2\). Plus \(12 - x^2 / 2\). L'aire du côté va du rectangle qui est là c'est \(12 - x \times x\) parce que l'aire est ample ses côtés fois côté plus \(12 - x \times x\). Et c'est terminé. Déjà exprimé leur en bleu en fonction de \(x\). Alors évidemment on va pas le laisser sous cette forme là donc souvenez vous vous attendiez vous demandez quand ça scolaires et les maximales sachez que votre objectif final c'est de faire un tableau de variation donc c'est d'être capable de retrouver la forme canonique du polynôme du second degré parce que c'est cette forme là qui vous donne des informations sur alpha et bêta qui sont les valeurs qu'on trouve dans le tableau de variation donc moi je vais passer ça en forme canonique donc avant de passer en forme clinique de flandre le développer parce que à ce stade à sarcelles a donc pour avoir la forme développée moi je commençais aussi paradoxal que cela puisse sembler par factoriser parce que je vois que j'ai un point commun ici j'ai \(12 - x\) là \(12 - x\) ça j'ai \(12 - x\) ici donc je sais que la factorisation elle va commencer par \(12 - x\) ensuite je veux courir un grand crochet je vais remettre les signes entre le bloc donc là je vous fais comme pour des bba ça fait toujours du bien mais si c'est plus et plus donc là je vais avoir un plus et là je vais avoir un plus et ensuite je me dis donc ce \(12 - x\) par quoi ils étaient plus cliquez ici les ti \(x\) et ils étaient divisés par deux ensuite ici parfois ils étaient multipliées elle en avait \(12 - x^2\) donc il était en fait \(x \times (12 - x)\) est divisé par deux hélas parfois ils étaient multiples et là ils étaient multiples et tout simplement pas \(x\) et je me retrouve joue donc avec \(12 - x \times x\). Alors on va développeurs on va développer un petit coup ce truc lâm donc \(x / 2\) donc tout - \(x / 2\) c'est comme \(12 / 2 - x / 2\) et ça me fait donc \(12 - x\) le clip y est donc \(x / 2 - x^2\) ça simplifie \(12 / 2\) c'est en fait \(6 + x\) et hop je me retrouve avec un polynôme sous sa forme factories et moi ça m'embête parce que c'est pas du tout la forme factoriser je veux avoir je vais avoir la forme canonique pourquoi je commence à me répéter mais parce que je veux savoir pour quelle valeur l'air est maximale donc c'est la forme canonique qui va intéresser parce que c'est la forme canonique qu'il permet de faire un tableau de variation donc je vais redévelopper tout ça et je vais rancune forme canonique donc on redéveloppe \(12 \times 6\) ça nous fait huit fois ci \(60 + 2 \times 6 = 12\) donc \(72 + 12x - x^2 - 6x - 6x\) ça me fait plus \(6x\) et plus passant donc je leur tour bien face à une belle belle forme développée donc comment passer la forme développée à la forme canonique et ben on va commencer par calcul et alpha qui vaut moins b donc moins 6 sur deux à deux fois moins en moins 6 sur deux fois moins deux fois moins ça fait moins deux donc ça me fait moins 6 sur moins de lait moi je les simplifie 6 sur deux ça me fait 3g - alpha qui vaut 3 pour trouver mon bêta c'est f2 alpha donc je vais prendre mon alpha et je vais leur mettre dans mon polynôme donc ça me fait moins \(x^2\) donc \(3^2 + 6x\) donc plus y soit 3 + 72 - \(3^2\) ça me fait moins 9 \(6x3 = 18\) \(18 - 9\) ça me fait 9 + 72 80 du coup je peux dire finalement que mon air en fonction de \(x\) elle s'écrit donc ici mort arrive au moins un mois \(x - \alpha\) donc \(x - 3^2 + \beta\).

Détermination de la valeur maximale de \(l\)

Très bien, question 3 pour quelle valeur de \(x\) \(l\) est maximale donc une fois que vous avez votre air données sous forme qu'à munich vous pouvez tracer directement le tableau de variation donc je sais que \(x\) silva entre 0 et 12 je sais que non alpha niveau 3 je sais que mon bétail vos 80 et vu que a est négatif on va se retrouver avec un peu énorme qui est d'abord croissant puis décroissant donc ça va monter jusqu'à 80 jusqu'à 80 et ensuite décembre donc à la question pour quelle valeur de \(x\) les maximales et je répondais l'air est maximale quand \(x\) ou vos 3 quelle est alors la valeur de ses terres et bel air quand hicks est égal à 3 elle vaut 80 donc si cette distance la \(PM\) veaux 3 cm l'air en bleu volera 85e. On récapitule quand on a un problème bert pour lequel on nous demande de trouver le maximum au minimum notre but ça va être d'exprimer ses terres sous forme canonique quand on a un problème des roues on nous demande quand est-ce que l'air vaut une certaine valeur on va passer plutôt par la forme factoriser parce que c'est la forme factoriser qui lui permet de résoudre des équations on vous a mis des exercices en tout entraînez-vous.