22. Somme et produit des racines du polynôme

Introduction

Nous allons continuer sur les sommes et produits de racines. Nous allons utiliser le théorème que vous voyez ici pour vous préparer à un type d'exercice auquel j'aimerais vraiment que vous pensiez. Ces exercices peuvent parfois être déroutants. On va vous donner deux nombres, par exemple \(m\) et \(n\), et l'exercice va commencer par dire "calculez donc \(m + n\) et \(m \times n\)".

Théorème et application

Si vous avez bien suivi, vous vous dites qu'il n'y a aucune autre raison au monde de me faire calculer la somme et le produit d'un nombre si ce n'est pour ensuite résoudre un polynôme du second degré. Et vous allez voir que très souvent, une fois que vous aurez calculé cela, la deuxième question sera "en déduire les solutions de \(x^2 - 2x - 11 = 0\)". Donc si vous regardez le théorème, ce théorème nous dit que si j'ai une somme de nombres qui vaut \(b\) et un produit de nombres qui vaut \(c\), alors ces deux nombres sont les racines de \(x^2 - bx + c = 0\).

Calculs et résolution

Donc, je vous parie que la somme ici va nous faire \(2\) et que le produit ici va nous faire \(-11\). On essaye, c'est parti. \(m + n\) ça nous donne donc \(1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3}\), ce qui donne \(2\). Comme par hasard, \(m + n = 2\). Maintenant, \(m \times n\) nous donne \(1 - \sqrt{3} \times 1 + \sqrt{3}\), ce qui donne \(1 + 2\sqrt{3}\). Si vous êtes bon en identités remarquables, vous remarquez quelque chose de la forme \(a^2 - b^2\). Ici, on a \(1^2 - (\sqrt{3})^2\), ce qui donne \(1 - 3 = -2\). Donc, on retrouve notre deuxième partie d'exercice : en déduire les solutions de \(x^2 - 2x - 11 = 0\). Nous avons vu que \(m + n = 2\) et que \(m \times n = -11\). Donc, on sait que \(m\) et \(n\) sont les solutions de l'équation qui s'écrit \(x^2 - bx + c = 0\). Donc, \(m\) et \(n\) sont les solutions de l'équation qui s'écrit \(x^2 - 2x - 11 = 0\). Donc, je peux dire directement que ma première solution est \(m = 1 - \sqrt{3}\) et que ma deuxième solution est \(n = 1 + \sqrt{3}\). C'est assez simple, mais vous feriez quand même bien d'aller faire les exercices en dessous pour vous assurer que vous avez bien compris et que cela rentre bien en tête.