16. Inéquation quotient de deux polynômes du 2nd degré

Introduction

On continue sur les inéquations, cette fois-ci avec une inéquation où vous avez une grande barre de fraction avec un polynôme au numérateur et un autre au dénominateur. Il faut habituer vos yeux à reconnaître que vous êtes en face d'un quotient de polynômes. C'est très exactement comme si vous aviez un produit de polynômes. On va diviser le problème en deux parties : on va d'abord s'occuper du polynôme au numérateur, puis de celui au dénominateur. On va appliquer trois étapes à chacun des polynômes : première étape, on calcule les racines avec le déterminant ; deuxième étape, on dresse le tableau de signes de chacun des polynômes ; troisième étape, on conclut.

Calcul des racines

Pour le polynôme \(P(x) = 2x^2 + 26x + 4\), les racines sont \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 1\). Pour le polynôme \(Q(x)\), les racines sont \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 4\). Une fois que vous avez calculé les racines, on va les mettre dans le tableau.

Tableau de signes

On commence avec le polynôme au numérateur, \(P(x)\). On place les racines sur l'axe, pour ces racines là, le numérateur vaut zéro. Ensuite, on détermine le signe du polynôme à l'extérieur des racines. On continue avec le polynôme au dénominateur, \(Q(x)\). On détermine quand il est égal à zéro et on applique la même règle pour déterminer le signe du polynôme à l'extérieur des racines.

Conclusion

On conclut en déterminant les intervalles pour lesquels le quotient des polynômes est supérieur ou égal à zéro. On doit faire attention à exclure les valeurs pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro, car on ne peut pas diviser par zéro. Enfin, on encadre la solution. Il faut faire attention à vérifier si les signes correspondent à une inégalité ou une inégalité stricte, et à toujours exclure les valeurs interdites.