1. Forme canonique d'un polynôme du second degré

Introduction

C'est parti. Donc, première étape : mettre le polynôme sous forme canonique. Ce que l'on reconnaît ici comme écriture, c'est la forme la plus standard du polynôme du second degré. C'est la plupart du temps le polynôme qui vous est donné sous cette formule. Ça s'appelle la forme développée et pour cette forme développée, vous devez habituer vos yeux à reconnaître qu'elle s'écrit comme \(ax^2 + bx + c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes.

Identification des constantes

Pour ce polynôme, la valeur de \(a\) ici est \(-3\), la valeur de \(b\) est \(6\) et la valeur de \(c\) est \(1\). Une fois que vous avez fait ça, vous avez fait le plus dur. Pourquoi ? Parce que la forme canonique, on vous la donne et elle s'affiche ici : la forme canonique du polynôme \(P(x)\) est égale à \(a(x - \alpha)^2 + \beta\). Donc, vous voyez qu'on est passé d'une forme où on avait trois coefficients à une forme où on a trois coefficients a priori différents. Rien n'a fondamentalement changé, c'est juste une manière différente d'écrire cette expression.

Calcul de \(\alpha\) et \(\beta\)

Pour trouver \(\alpha\) et \(\beta\), encore une fois, il n'y a rien de plus simple. Vous appliquez la formule qui vous est donnée. Pour trouver \(\alpha\), je fais \(-b / 2a\). Autrement dit, mon \(b\) vaut \(6\), donc \(-6 / 2 \times -3\). \(2 \times -3\) ça fait \(-6\), donc \(-6 / -6\) ça fait \(1\). Et hop, j'ai trouvé la valeur de \(\alpha\). Pour trouver \(\beta\), je fais \(f(\alpha)\), autrement dit, je prends la valeur de \(\alpha\) que j'ai trouvée et je la remets dans le polynôme en remplaçant \(x\) par la valeur de \(\alpha\). Donc ici, ça me ferait \(-3 \times 1^2 + 6 \times 1 + 1\). Et quand je calcule, ça fait \(-3 + 6 + 1 = 4\). Donc, \(\beta = 4\).

Écriture de la forme canonique

Maintenant que je connais la valeur de \(\alpha\) et de \(\beta\), je peux donner l'expression de la forme canonique qui va s'écrire \(P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\), soit \(P(x) = -3(x - 1)^2 + 4\). Et voilà, c'est terminé. C'est la procédure pour mettre un polynôme sous forme canonique : à partir de la forme développée, j'identifie les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\). Une fois que j'ai identifié ces trois constantes, je calcule \(\alpha\) et \(\beta\), et j'écris la forme canonique en utilisant la formule du polynôme.