📖 Fiche résumée

Introduction à la Géométrie Repérée en Première Spécialité

La géométrie repérée, étudiée en classe de Première Spécialité, est un chapitre fondamental des mathématiques qui établit un pont essentiel entre l'algèbre et la géométrie. En associant des coordonnées à des points, des équations à des courbes, elle nous permet de traduire des problèmes géométriques en calculs algébriques, et inversement. Cette approche analytique, initiée par des mathématiciens comme René Descartes, est un outil puissant pour démontrer des propriétés, calculer des distances, des angles, ou encore déterminer des points d'intersection. Cette fiche de cours a pour objectif de synthétiser les notions clés concernant deux objets géométriques centraux : la droite et le cercle. Nous aborderons leurs représentations par des équations cartésiennes, l'utilisation des vecteurs pour les caractériser, et les méthodes pour étudier leurs positions relatives. Ce texte est une explication détaillée des concepts présentés dans notre fiche PDF, conçue pour vous aider à approfondir votre compréhension. Pour un résumé visuel et concis des formules, n'hésitez pas à consulter le document associé.

L'équation cartésienne d'une droite : fondements et applications

La droite est l'un des objets les plus simples de la géométrie, mais sa description dans un repère orthonormé est riche et variée. L'équation cartésienne en est la représentation la plus générale.

Définition et forme générale

Toute droite d du plan peut être décrite par une équation de la forme :

ax + by + c = 0

où a, b, et c sont des nombres réels, avec la condition que a et b ne soient pas simultanément nuls (on note cela (a, b) ≠ (0, 0)). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite d. Elle représente l'ensemble de tous les points M de coordonnées (x; y) qui appartiennent à la droite.

• Si un point A(x_A, y_A) appartient à la droite d, alors ses coordonnées vérifient l'équation : ax_A + by_A + c = 0.
• Inversement, si les coordonnées d'un point vérifient l'équation, alors ce point se trouve sur la droite.

Le vecteur normal : un outil de perpendicularité

Un concept crucial associé à l'équation cartésienne est celui de vecteur normal. Un vecteur n⃗ est dit normal à une droite d s'il est orthogonal (perpendiculaire) à tout vecteur directeur de cette droite. L'un des avantages majeurs de l'équation cartésienne est qu'elle nous donne directement les coordonnées d'un vecteur normal.

Pour une droite d d'équation ax + by + c = 0, le vecteur n⃗(a, b) est un vecteur normal à d.

Exemple : Pour la droite d'équation 2x - 5y + 3 = 0, le vecteur n⃗(2, -5) est un vecteur normal. Cela signifie que cette droite est perpendiculaire à la direction donnée par ce vecteur.

Le vecteur directeur : guider la direction de la droite

Alors que le vecteur normal donne l'orientation perpendiculaire, le vecteur directeur, noté u⃗, donne l'orientation de la droite elle-même. Il est colinéaire à la droite. On peut également déduire un vecteur directeur à partir de l'équation cartésienne.

Pour une droite d d'équation ax + by + c = 0, le vecteur u⃗(-b, a) est un vecteur directeur de d.

Pourquoi ? Car le produit scalaire entre un vecteur normal et un vecteur directeur doit être nul (puisqu'ils sont orthogonaux). Vérifions : n⃗ · u⃗ = a*(-b) + b*a = -ab + ab = 0. La condition d'orthogonalité est bien respectée.

Exemple : Pour la droite d'équation 2x - 5y + 3 = 0, le vecteur u⃗(5, 2) est un vecteur directeur.

Comment déterminer l'équation d'une droite ?

La connaissance d'un point de la droite et d'un vecteur (normal ou directeur) est suffisante pour déterminer son équation cartésienne.

1. À partir d'un point A(x_A, y_A) et d'un vecteur normal n⃗(a, b) :
   • L'équation de la droite sera de la forme ax + by + c = 0.
   • Comme le point A appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l'équation : ax_A + by_A + c = 0.
   • On peut alors isoler la constante c : c = -ax_A - by_A. C'est une étape de calcul essentielle, mise en évidence dans notre fiche récapitulative.
2. À partir d'un point A et d'un vecteur directeur u⃗(-b, a) :
   • On déduit d'abord un vecteur normal n⃗(a, b).
   • On procède ensuite comme dans le cas précédent pour trouver la constante c.

Le cercle : équation cartésienne et propriétés

Le cercle est un autre objet géométrique fondamental. Sa définition basée sur la distance à un centre se traduit parfaitement en une équation dans un repère.

L'équation cartésienne réduite du cercle

Par définition, un cercle C de centre A(x_A, y_A) et de rayon R (avec R > 0) est l'ensemble des points M(x, y) du plan tels que la distance AM est égale à R. La formule de la distance dans un repère nous dit que AM² = (x - x_A)² + (y - y_A)². Comme AM = R, on a AM² = R².

On obtient ainsi l'équation cartésienne réduite du cercle :

(x - x_A)² + (y - y_A)² = R²

Cette forme est très pratique car elle permet d'identifier immédiatement le centre et le rayon du cercle.

Exemple : L'équation (x - 3)² + (y + 4)² = 25 décrit un cercle de centre A(3, -4) et de rayon R = √25 = 5.

De la forme réduite à la forme développée

En développant les identités remarquables dans l'équation réduite, on obtient une autre forme d'équation :

x² - 2x_Ax + x_A² + y² - 2y_Ay + y_A² = R²

En réarrangeant les termes, on arrive à une équation de la forme :

x² + y² + ax + by + c = 0

où a = -2x_A, b = -2y_A et c = x_A² + y_A² - R². Cette équation est la forme développée de l'équation du cercle. Bien que moins intuitive, elle est indispensable pour résoudre certains problèmes, notamment les intersections.

Reconnaître l'équation d'un cercle

Inversement, comment savoir si une équation de la forme x² + y² + ax + by + c = 0 représente bien un cercle ? Il faut utiliser la méthode de la mise sous forme canonique (qui consiste à compléter les carrés) :

• On regroupe les termes en x et en y : (x² + ax) + (y² + by) = -c.
• On utilise l'identité (u+v)² = u²+2uv+v². On voit que x² + ax est le début de (x + a/2)² = x² + ax + a²/4.
• On transforme l'équation : (x + a/2)² - a²/4 + (y + b/2)² - b²/4 = -c.
• On isole le terme constant : (x + a/2)² + (y + b/2)² = a²/4 + b²/4 - c.

On reconnaît une équation de cercle de centre A(-a/2, -b/2) et de rayon R tel que R² = a²/4 + b²/4 - c. Pour que ce soit effectivement un cercle, il faut que le terme de droite soit strictement positif. S'il est nul, l'ensemble est réduit à un seul point (le centre). S'il est négatif, l'ensemble est vide.

Positions Relatives et Intersections

La puissance de la géométrie repérée se manifeste pleinement lors de l'étude des intersections entre ces objets.

Intersection de deux droites

Trouver le point d'intersection de deux droites sécantes revient à résoudre le système de deux équations cartésiennes à deux inconnues (x et y). Le nombre de solutions du système (0, 1 ou une infinité) correspond au nombre de points d'intersection.

Intersection d'une droite et d'un cercle

Pour trouver les points d'intersection entre une droite ax + by + c = 0 et un cercle (x - x_A)² + (y - y_A)² = R², on résout le système formé par ces deux équations. La méthode la plus courante est la substitution :

1. On exprime une inconnue (par exemple y) en fonction de l'autre (x) à partir de l'équation de la droite.
2. On substitue cette expression dans l'équation du cercle.
3. On obtient une équation du second degré en x. Le calcul de son discriminant (Δ) permet de conclure :
   • Si Δ > 0 : deux solutions, la droite est sécante au cercle (deux points d'intersection).
   • Si Δ = 0 : une solution, la droite est tangente au cercle (un point d'intersection).
   • Si Δ < 0 : aucune solution, la droite est extérieure au cercle.

Intersection de deux cercles

L'étude de l'intersection de deux cercles est un cas de figure intéressant, présenté dans notre fiche. Soient deux cercles C₁ et C₂ avec leurs équations sous forme développée :

• C₁ : x² + y² + a₁x + b₁y + c₁ = 0
• C₂ : x² + y² + a₂x + b₂y + c₂ = 0

Un point M(x, y) appartenant à l'intersection doit vérifier les deux équations. Si on soustrait la deuxième équation à la première (C₁ - C₂), les termes x² et y² s'annulent. Il reste :

(a₁ - a₂)x + (b₁ - b₂)y + (c₁ - c₂) = 0

Cette nouvelle équation est celle d'une droite, appelée axe radical des deux cercles. Les points d'intersection des deux cercles se trouvent nécessairement sur cette droite. Le problème est donc ramené à un cas que nous savons résoudre : l'intersection de cette droite avec l'un des deux cercles (C₁ ou C₂).

Conclusion : la synthèse par l'algèbre

Ce parcours à travers la géométrie repérée des droites et des cercles en Première Spécialité montre la force de l'approche analytique. La maîtrise des équations cartésiennes, la compréhension des rôles des vecteurs directeur et normal, et les techniques de résolution de systèmes sont des compétences essentielles. Elles permettent de transformer des questions de position, d'intersection ou de tangence en problèmes algébriques bien définis. Pour une vision synthétique de toutes les formules et des schémas explicatifs clairs, nous vous invitons à télécharger et consulter la fiche de cours PDF complète disponible sur Galilee.ac. Elle constitue un excellent support pour vos révisions et la préparation de vos évaluations.