9. Retrouver le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation

Introduction

Bonjour à tous, nous allons voir comment trouver très simplement le centre et le rayon d'un cercle quand il vous est donné sous une certaine forme. Ce n'est pas compliqué, nous allons le faire tout de suite.

Comment trouver le centre et le rayon d'un cercle

Le seul moyen que vous avez de trouver le centre et le rayon d'un cercle quand il vous a été donné sous cette forme, c'est d'arriver d'une manière ou d'une autre à l'écrire comme \(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Les chiffres que vous aurez ici, \(a\) et \(b\), seront les coordonnées de votre centre et le chiffre \(r\) sera votre rayon. Pour faire cela, nous allons diviser le problème en deux. Nous allons réorganiser l'équation en mettant d'un côté les \(x\), de l'autre côté les \(y\) et les constantes que nous devrons passer de l'autre côté de l'égalité. Par exemple, si nous avons l'équation \(x^2 - 2x + y^2 - 4y = 1\), nous allons la réorganiser en \(x^2 - 2x + y^2 - 4y = -1\). Maintenant, nous voulons écrire \(x^2 - 2x\) comme \((x - a)^2\) et \(y^2 - 4y\) comme \((y - b)^2\). Pour cela, nous devons trouver les valeurs de \(a\) et \(b\) qui permettent d'obtenir ces expressions.

Exemple de calcul

Pour \(x^2 - 2x\), nous cherchons \(a\) tel que \((x - a)^2 = x^2 - 2x\). En développant \((x - a)^2\), nous obtenons \(x^2 - 2ax + a^2\). Nous voulons que \(-2ax\) soit égal à \(-2x\), donc nous résolvons l'équation \(-2a = -2\) pour obtenir \(a = 1\). De la même manière, pour \(y^2 - 4y\), nous cherchons \(b\) tel que \((y - b)^2 = y^2 - 4y\). En développant \((y - b)^2\), nous obtenons \(y^2 - 2by + b^2\). Nous voulons que \(-2by\) soit égal à \(-4y\), donc nous résolvons l'équation \(-2b = -4\) pour obtenir \(b = 2\). Ainsi, nous avons trouvé que le centre du cercle est \((1, 2)\) et le rayon est \(\sqrt{2}\). Notez que certaines équations pourraient ressembler à des équations de cercle, mais ne le sont pas si une fois que vous l'avez mis sous la forme \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), ce que vous avez de l'autre côté est négatif. En effet, il n'y a pas de cercle qui a un rayon dont le carré est négatif. J'espère que cet exemple vous a aidé à comprendre comment trouver le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation. N'hésitez pas à vous entraîner avec d'autres exemples pour maîtriser cette technique. Bonne chance !