14. Intersection de deux droites

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment on peut très simplement trouver l'intersection de deux droites dont on nous a donné les équations. Quand vous avez deux droites, deux possibilités s'offrent à vous : soit ces droites sont parallèles, auquel cas il n'y aura pas d'intersection, soit ces deux droites ne sont pas parallèles, c'est-à-dire que même si elles sont très légèrement inclinées l'une par rapport à l'autre, vous aurez une intersection.

Notation de l'intersection

Ce que je propose, c'est que cette intersection, on la note \(I\) par exemple, et qu'on dise que ses coordonnées sont \(x\) et \(y\). Si le point \(I\) est à l'intersection de \(d\) et de \(d'\), ça veut dire que mon point \(I\) est forcément sur \(d\) et sur \(d'\). Donc, les coordonnées \(x\) et \(y\) du point \(I\) vérifient les équations de \(d\) et de \(d'\). Par exemple, si l'équation de \(d\) est \(x + y = 1\) et celle de \(d'\) est \(x - y = 2\), alors \(x\) et \(y\) vérifient ces deux équations.

Résolution du système d'équations

Vu que ces deux relations doivent être vérifiées en même temps, on va mettre un crochet devant pour signifier qu'on veut que ces deux équations soient vérifiées en même temps. On se retrouve donc avec un système de deux équations à deux inconnus \(x\) et \(y\), qu'on n'a plus qu'à résoudre. Comment est-ce qu'on va résoudre ce système ? On peut le faire simplement par substitution. Je ne touche pas à la première équation \(x + y = 1\), mais sur la deuxième, je vais isoler \(x\), donc je vais réarranger pour obtenir \(x = 2 + y\). Maintenant, je remplace \(x\) dans la première équation par \(2 + y\), ce qui donne \(2 + 2y = 1\). En réarrangeant, on obtient \(2y = -1\) et donc \(y = -\frac{1}{2}\). En remplaçant \(y\) dans l'équation \(x = 2 + y\), on obtient \(x = \frac{3}{2}\). Donc, les coordonnées de mon point d'intersection sont \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)\).

Conclusion

Qu'est-ce qui se serait passé si les droites avaient été parallèles ? Si les droites avaient été parallèles, à la fin dans votre système d'équations, vous n'auriez plus ni de \(x\) ni de \(y\), c'est-à-dire que le système se serait simplifié et vous seriez arrivé à une équation du type \(0 = 3\) ou \(2 = 5\), ce qui signifie qu'il n'y a pas de solution et que donc les droites sont parallèles. Si vous avez un doute, vous pouvez vérifier en prenant les vecteurs directeurs des droites et en vérifiant s'ils sont colinéaires en calculant le déterminant. Maintenant, c'est à vous de jouer, vous êtes des champions !