13. Équation de la tangente à un cercle et montrer qu'un cercle est tangent à une droite

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très calmement comment trouver la tangente à un cercle en un point et plus précisément trouver son équation. C'est que quand vous êtes face à un exercice comme ça, la première étape c'est de se faire un dessin. Sans dessin, vous n'avez rien à prendre, mais vous n'avez rien à pouvoir faire. Donc, ce que vous avez comme information concernant ce cercle, c'est que vous connaissez son centre, que nous connaissions le point autour duquel il tourne, c'est oméga, et vous savez qu'il passe par un point qui a certaines coordonnées. Votre cercle va ressembler à ça. Vous n'avez pas l'information sur son rayon pour l'instant, vous avez juste oméga et un point de passage. On vous demande quelle est l'équation de la tangente.

Équation de la tangente

Donc, cette tangente, moi je vais l'appeler tau, la lettre grecque. Donc la tangente au cercle aura donc la tangente, c'est la droite qui vient raser le cercle au plan en question tout en étant perpendiculaire à ce rayon là qui est ici. Donc cette tangente, vous savez que de manière générale, une tangente s'écrit toujours \(ax + by + c = 0\). Et vous savez que pour trouver \(a\), \(b\) et \(c\), il va vous falloir deux choses : premièrement un vecteur directeur ou normal, donc un vecteur, et deuxièmement un point de passage. Une fois que vous avez ces deux données, un vecteur normal au directeur et un point de passage, vous pouvez trouver la valeur de \(a\), la valeur de \(b\) et la valeur de \(c\).

Calcul du vecteur

Donc commençons par le vecteur. Pour le vecteur d'une position droite, vous avez deux choix : soit vous prenez un vecteur directeur de cette droite, c'est-à-dire un vecteur qui va dans la même direction que cette droite. Par exemple, le vecteur que je dessine là, ça sera un vecteur directeur. Auquel cas, si vous connaissez le vecteur directeur, la première coordonnée, c'est \(b\), donc c'est l'opposé que vous allez mettre là, et la deuxième, c'est \(a\). Si vous n'avez pas le vecteur directeur, vous pouvez vous en sortir avec un vecteur normal, c'est-à-dire un vecteur qui est perpendiculaire à la droite en question, qui est perpendiculaire à ce que vous voulez mettre en équation. Et ce vecteur normal, ces coordonnées vont servir à lire directement \(a\) et \(b\). La première coordonnée, c'est ce que je mets là, et la deuxième coordonnée, c'est ce que je vais là. Maintenant, posez-vous la question : qu'est-ce que l'énoncé vous invite à faire ? Est-ce que l'énoncé vous invite plutôt à avoir un vecteur directeur ou est-ce qu'il vous invite plutôt à voir avec la normale ? L'énoncé, il vous donne \(a\) et il vous donne oméga, autrement dit, il vous donne la possibilité de calculer le vecteur \(a\omega\). Et regardez, ce vecteur \(a\omega\), c'est ce vecteur là. Est-ce que c'est un vecteur directeur ou est-ce que c'est un vecteur normal ? Très bonne réponse, c'est effectivement un vecteur normal. Donc notre vecteur \(a\omega\), on va calculer les coordonnées tout de suite. Donc le vecteur, ça va être un vecteur normal qui va être le vecteur \(a\omega\). Ses coordonnées, ça va être celles de oméga moins celles de \(a\), autrement dit \(1 - 7\) et \(2 - 0\), donc \(2 - 0\). Donc ses coordonnées, ça va être \(-6, 2\). Vu que le vecteur \(a\omega\) est un vecteur normal, je vais lire directement \(a\) et \(b\), et donc je peux d'ores et déjà dire que mon équation de tangente, c'est \(-6x + 2y + c = 0\). Et pour trouver \(c\), on va utiliser le point de passage. Quel est le point de passage le plus évident ? Le point de passage le plus évident, c'est ce point là, c'est le point dont on vous a donné les coordonnées. Le point de passage, ça va être \(a\) de coordonnées \(7, 0\). Donc les coordonnées de \(a\), j'ai le droit de les remettre à la place de \(x\) et de \(y\), et du coup je connaîtrai \(-6\), je connaîtrai \(x\), je connaîtrai \(2\), je connaîtrai \(y\), et je n'aurai plus qu'à trouver \(c\). Donc \(-6\) fois \(7\) ça me fait \(-42\), plus \(2\) fois \(0\) plus \(c = 0\). Et du coup, je passe \(-42\) de l'autre côté, donc \(c = 42\). Et je vais prendre mon équation, et remplacer \(c\) par \(42\), et j'obtiens l'équation de ma tangente. On vous a donné des petits exercices comme ça en dessous, ça vaut le coup de s'entraîner parce que la formulation ne va pas toujours être exactement comme ça. Je peux vous dire : "Le cercle passant par \(a\) et \(b\) de rayon \(ab\)", enfin il y a plein de formulations différentes. Entraînez-vous, allez voir en contexte de contrôle, ça va vous renforcer les muscles du cerveau. À vous de jouer, vous êtes des champions.