7. Équation d'une tangente par le calcul

Introduction

Déterminons l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse. Dans cet exercice, nous n'avons pas la représentation graphique de la fonction, donc nous allons utiliser la formule suivante pour calculer l'équation réduite d'une tangente : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Ce qui va nous intéresser dans cet exercice, c'est de calculer \(f'(a)\) et \(f(a)\) au point d'abscisse \(a\).

Calcul de la dérivée

Pour calculer la dérivée, si nous avions la représentation graphique de la fonction, nous aurions utilisé la définition graphique de la dérivée, c'est-à-dire que la dérivée est le coefficient directeur de la tangente. Mais ici, nous n'avons pas la représentation graphique, donc nous allons devoir passer par la technique qui consiste à calculer la dérivée à partir de la limite du taux de variation. Pour cela, nous allons d'abord calculer \(f(a + h)\), puis \(f'(a)\), et enfin \(f(a + h) - f(a) / h\). Par exemple, si \(f(x) = 3 / (x + 1)\), alors \(f(a + h) = 3 / (a + h + 1)\) et \(f(a) = 3 / (a + 1)\). Ensuite, nous calculons \(f(a + h) - f(a) / h = (3 / (a + h + 1) - 3 / (a + 1)) / h\). Pour simplifier cette expression, nous mettons tout au même dénominateur, ce qui donne \((3(a + 1) - 3(a + h + 1)) / ((a + h + 1)(a + 1)h)\). En simplifiant, nous obtenons \(-3h / ((a + h + 1)(a + 1)h)\), qui se simplifie en \(-3 / (a + h + 1)(a + 1)\). Enfin, nous calculons la limite de cette expression lorsque \(h\) tend vers 0, ce qui donne \(-3 / (a + 1)^2\). C'est donc la dérivée de la fonction au point \(a\).

Calcul de la valeur de la fonction

Pour calculer la valeur de la fonction au point \(a\), nous remplaçons simplement \(x\) par \(a\) dans l'expression de la fonction. Par exemple, si \(f(x) = 3 / (x + 1)\), alors \(f(a) = 3 / (a + 1)\).

Équation de la tangente

Une fois que nous avons calculé la dérivée et la valeur de la fonction au point \(a\), nous pouvons utiliser la formule de l'équation de la tangente pour obtenir l'équation de la tangente au point \(a\). Par exemple, si \(f'(a) = -3 / (a + 1)^2\) et \(f(a) = 3 / (a + 1)\), alors l'équation de la tangente est \(y = -3 / (a + 1)^2 (x - a) + 3 / (a + 1)\). En conclusion, lorsque nous voulons calculer l'équation de la tangente et que nous n'avons pas la représentation graphique, nous passons par le calcul de la dérivée à partir du taux de variation et de la limite, puis nous calculons la valeur de la fonction au point d'abscisse, et enfin nous utilisons la formule de l'équation de la tangente.