Introduction
Nous allons travailler sur une séance de calcul sur le nombre dérivé pour des fonctions de type quotient. C'est un type de calcul qui revient souvent dans les contrôles, donc il est important de bien le maîtriser. Nous allons utiliser la technique habituelle : calculer d'abord \(f(a + h)\), puis le taux de variation, c'est-à-dire \(\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\), puis faire la limite quand \(h\) tend vers zéro. Si cette limite est réelle, c'est le nombre dérivé. Si cette limite est \(+\infty\) ou \(-\infty\), c'est que la fonction n'est pas dérivable.
Exemple 1
Prenons comme première fonction \(f(x) = \frac{1}{2 - x}\) avec \(a = 0\).
Nous commençons par calculer \(f(a)\), ici \(f(0)\), qui vaut \(\frac{1}{2 - 0} = \frac{1}{2}\).
Ensuite, nous calculons \(f(a + h)\), donc \(f(0 + h)\), ce qui nous donne \(\frac{1}{2 - h}\).
La principale difficulté de ce type de calcul intervient lorsque nous calculons le taux de variation, c'est-à-dire \(\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\). Nous obtenons \(\frac{\frac{1}{2 - h} - \frac{1}{2}}{h}\).
Pour simplifier cette expression, nous allons d'abord mettre les deux fractions au même dénominateur, ce qui nous donne \(\frac{2 - (2 - h)}{2(2 - h)h}\).
En simplifiant, nous obtenons \(\frac{h}{2(2 - h)h}\).
Enfin, nous calculons la limite de cette expression quand \(h\) tend vers zéro, ce qui nous donne \(\frac{1}{4}\).
Donc, le nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(0\) est \(\frac{1}{4}\).
Exemple 2
Prenons maintenant comme fonction \(f(x) = \frac{-1}{x - 3}\) avec \(a = -1\).
Nous commençons par calculer \(f(a)\), ici \(f(-1)\), qui vaut \(\frac{-1}{-1 - 3} = \frac{1}{4}\).
Ensuite, nous calculons \(f(a + h)\), donc \(f(-1 + h)\), ce qui nous donne \(\frac{-1 + h}{-1 + h - 3}\).
Le taux de variation est alors \(\frac{\frac{-1 + h}{-1 + h - 3} - \frac{1}{4}}{h}\).
En mettant les deux fractions au même dénominateur, nous obtenons \(\frac{-4 + 4h - (1 - h)}{4(-1 + h - 3)h}\).
En simplifiant, nous obtenons \(\frac{3h}{4(-4 + h)h}\).
Enfin, nous calculons la limite de cette expression quand \(h\) tend vers zéro, ce qui nous donne \(\frac{3}{-16}\).
Donc, le nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(-1\) est \(\frac{3}{-16}\).
Conclusion
Il est important de s'entraîner sur ce type de calcul car les erreurs peuvent coûter cher lors d'un contrôle. Par exemple, il ne faut pas oublier que le signe moins devant une fraction concerne toute la fraction. De plus, il faut se souvenir que diviser un quotient par \(h\) revient à multiplier ce quotient par l'inverse de \(h\).