10. Trouver la position relative entre la courbe d'une fonction et sa tangente

Introduction

Une compétence récurrente que vous allez retrouver dans tous les chapitres est celle qui concerne la position relative de deux courbes. Un exercice typique se présente ainsi : on vous donne une fonction et on vous demande de déterminer l'équation réduite de la tangente en un point particulier, puis d'étudier la position relative des deux courbes.

Position relative de deux courbes

En mathématiques, étudier la position relative de deux courbes signifie savoir laquelle est au-dessus et laquelle est en dessous. Prenons par exemple la fonction \(f(x)\). Admettons que je vous demande la tangente en un point particulier, disons \(x = -1\). Vous remarquerez qu'il y a des cas où cette tangente est au-dessus de la courbe et d'autres cas où elle est en dessous. Pour faire cette étude, vous n'allez pas le faire avec un dessin, car cela ne serait pas précis. Vous allez suivre une méthode que je vais vous donner tout de suite, qui se déroule en trois étapes.

Méthode d'étude de la position relative

La première étape consiste à calculer \(f(x) - g(x)\), où \(f(x)\) est votre fonction et \(g(x)\) est la tangente. Ensuite, on va étudier le signe de ce que l'on a trouvé, c'est-à-dire le signe de \(f(x) - g(x)\). Enfin, on va conclure sur la position relative des deux courbes. Pourquoi utilise-t-on le signe de \(f(x) - g(x)\) ? Si on a une fonction qui est au-dessus de sa tangente, alors \(f(x) - g(x)\) est positif. Si la fonction est en dessous de sa tangente, alors \(f(x) - g(x)\) est négatif. C'est à partir de l'étude de signes que vous pouvez conclure sur la position relative.

Exemple d'application

Prenons un exercice. La première question est de déterminer l'équation réduite de la tangente à \(f\) au point d'abscisse \(c\). L'équation réduite de la tangente est \(y = 8x - 5\). La deuxième question est d'étudier la position relative de la courbe et de la tangente. On commence par calculer \(f(x) - g(x)\), ce qui donne \(3x^2 + 2x - 2 - 8x + 5\). En simplifiant, on obtient \(3x^2 - 6x + 3\). La deuxième étape est d'étudier le signe de \(f(x) - g(x)\). Pour cela, on calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 4*3*3 = 0\). On a donc une unique racine qui vaut \(-b/2a = -(-6)/(2*3) = 1\). Enfin, on conclut sur la position relative des deux courbes. On voit que pour \(x\) appartenant à \(-\infty, 1\), \(f(x) - g(x)\) est positif, donc \(f\) est au-dessus de \(g\). Pour \(x\) appartenant à \(1, +\infty\), \(f(x) - g(x)\) est également positif, donc \(f\) est toujours au-dessus de \(g\). Au point d'abscisse \(1\), \(f(x) - g(x) = 0\), donc la tangente et la courbe sont confondues. C'est un type d'exercice que vous allez très probablement rencontrer lors d'un contrôle, et il est presque certain que cela sera un polynôme du second degré, car en général, la dérivée est étudiée après le second degré.