Introduction
Allez, on démarre avec une petite compétence de base pour ce chapitre de la dérivation locale. On va s'intéresser à la notion de taux de variation, au taux d'accroissement. Les deux mots sont identiques. Qu'est-ce que c'est que le taux d'accroissement ? Le taux d'accroissement est quelque chose qui nous permet de savoir comment est-ce que la fonction va varier.
La première chose que vous devez savoir à propos du taux de variation ou du taux d'accroissement, c'est que quand la fonction est croissante, elle va varier en augmentant et du coup le taux de variation va être positif. Quand la fonction est décroissante, le taux de variation va être négatif.
Exemple de calcul du taux de variation
Première question sans calcul : donner le signe du taux de variation entre -4 et -3, 0 et 2, -3 et -1. Donc on commence entre -4 et -3. Sur ce segment là, entre -4 et -3, je n'ai pas besoin de faire de calculs pour me rendre compte que la fonction est croissante. Comment sera mon taux de variation ? Positif.
Calculons maintenant le taux de variation entre 0 et 2. Sur ce segment là, ma fonction est clairement croissante. Quand la fonction est croissante, le taux de variation est positif.
Entre -3 et -1, sur ce segment là, on voit clairement que la fonction est décroissante. Quand la fonction est décroissante, le taux de variation est négatif.
Formule du taux de variation
Maintenant, comment le calculer plus précisément ce taux de variation ? Parce que c'est bien beau de pouvoir dire s'il est négatif ou positif, mais ce qu'on aimerait bien c'est être capable de le calculer précisément. Donc la formule du taux de variation est \(f(b) - f(a) / (b - a)\).
Autrement dit, quand je me place ici, ce que je veux calculer c'est cette longueur là, donc \(f(b) - f(a)\), et la diviser par cette longueur là, \(b - a\). C'est censé vous rappeler le coefficient directeur d'une droite.
On va s'y mettre donc entre -4 et -3. Donc \(f(-4)\) que je lis graphiquement c'est 0, \(f(-3)\) c'est 1. Donc en appliquant la formule, le taux de variation entre -4 et -3 est \(f(-3) - f(-4) / (-3 - (-4))\). On a vu que \(f(-3)\) c'était 1, \(f(-4)\) c'était 0, donc \(1 - 0 / (-3 - (-4)) = 1\).
On recommence avec les autres entre 0 et 2. \(f(0)\) c'est 0, \(f(2)\) c'est 2. Donc \(f(2) - f(0) / (2 - 0) = 2\).
Donc là c'est intéressant, regarder ce qu'on remarque. On remarque que le taux de variation entre -4 et -3 qui vaut 1, c'est le même que le taux de variation entre 0 et 2 qui vaut 2. Autrement dit, la fonction là, elle croît de la même manière que la fonction ici.
Conclusion
Donc en fait, on se rend compte que le taux de variation non seulement il va nous dire si la fonction croît ou décroît en fonction du signe, mais il va nous dire à quelle vitesse elle croît ou décroît. Quand on a un taux de variation de 1, on croît à 45 degrés. Quand on a un taux de variation qui est plus grand que 1, on va croître plus verticalement et quand on a un taux de variation qui est plus petit que 1, on va croître moins verticalement.
Allez, vous enchaînez. On a mis des exercices en dessous. On va vous faire calculer du taux d'accroissement, sauf que ça ne sera pas forcément graphique. Parfois on vous donnera pas le graphique, on vous donnera juste l'expression de la fonction. Mais avec l'expression de la fonction, vous êtes tout à fait capable de me calculer de la même manière \(f(2) - f(-3)\) en remplaçant \(x\) par -3. Allez, à vous de jouer.