📖 Fiche résumée

Introduction à la Dérivation Globale en Première Spécialité Maths

La dérivation globale est un chapitre fondamental du programme de mathématiques en classe de Première, spécialité Maths. Elle représente une extension du concept de nombre dérivé vu en classe de Seconde et constitue la pierre angulaire de l'analyse de fonctions. Maîtriser la dérivation est indispensable non seulement pour réussir son année de Première, mais aussi pour aborder sereinement le programme de Terminale et les études supérieures scientifiques. L'objectif de ce chapitre est de passer de la notion locale de la dérivée en un point à une vision globale, celle de la fonction dérivée. Cet outil surpuissant permet de déterminer les variations d'une fonction, d'identifier ses extremums (maximums et minimums locaux), et de modéliser des phénomènes d'évolution. Cette fiche de cours synthétise les définitions, théorèmes et formules essentiels pour exceller dans ce domaine. Nous aborderons les dérivées des fonctions usuelles, les opérations sur les dérivées, et le lien crucial entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction.

Rappel : Nombre Dérivé et Équation de la Tangente

Avant de plonger dans la dérivation globale, il est essentiel de se remémorer le concept de nombre dérivé. Le nombre dérivé d'une fonction f en un point d'abscisse a, noté f'(a), est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe représentative de f au point A de coordonnées (a, f(a)). Il mesure la vitesse instantanée de variation de la fonction à cet endroit précis.

L'équation de la tangente : une formule incontournable

L'une des premières applications concrètes de la dérivée est la détermination de l'équation de la tangente à une courbe en un point. La formule, à connaître par cœur, est la suivante :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Pour utiliser cette formule, la méthode est toujours la même :

• Calculer l'image de a par la fonction, soit f(a).
• Calculer la fonction dérivée f'(x) (nous verrons comment ci-après).
• Calculer la valeur de la dérivée en a, soit le nombre dérivé f'(a).
• Remplacer f(a) et f'(a) dans la formule pour obtenir l'équation de la droite.

Cette équation est celle de la meilleure approximation affine de la fonction f au voisinage du point a.

La Fonction Dérivée : Le Cœur de l'Analyse

La grande idée de ce chapitre est de généraliser le concept de nombre dérivé. Au lieu de calculer la pente en un seul point a, on cherche à définir une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée et notée f', qui à chaque nombre x de l'ensemble de dérivabilité de f associe le nombre dérivé f'(x). Cette fonction f' devient alors un outil d'analyse globale du comportement de la fonction f.

Le lien fondamental entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction

Le théorème central qui justifie l'étude de la fonction dérivée est le suivant. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si pour tout x de I, f'(x) > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
• Si pour tout x de I, f'(x) < 0, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
• Si pour tout x de I, f'(x) = 0, alors la fonction f est constante sur I.

Ce théorème est extrêmement puissant. Pour étudier les variations d'une fonction f, il suffit de :

1. Calculer sa fonction dérivée f'(x).
2. Étudier le signe de l'expression f'(x) (en résolvant une inéquation ou en dressant un tableau de signes).
3. En déduire les intervalles où f est croissante ou décroissante et dresser son tableau de variations complet.

Lorsqu'une dérivée s'annule en changeant de signe en une valeur x₀, la fonction f admet un extremum local (un maximum si f' passe de positive à négative, un minimum si f' passe de négative à positive).

Formulaire : Dérivées des Fonctions Usuelles

Pour pouvoir appliquer le théorème précédent, il est impératif de connaître parfaitement les formules de dérivation des fonctions de référence. Ces résultats doivent être appris et maîtrisés pour pouvoir calculer n'importe quelle dérivée.

• Fonction constante : Si f(x) = k (où k est un réel), alors f'(x) = 0. La pente d'une droite horizontale est nulle.
• Fonction identité : Si f(x) = x, alors f'(x) = 1. La pente de la première bissectrice est 1.
• Fonction carrée : Si f(x) = x², alors f'(x) = 2x.
• Fonctions puissances : Plus généralement, si f(x) = xⁿ (avec n un entier non nul), alors f'(x) = nxⁿ⁻¹. Cette formule unifie les cas précédents.
• Fonction inverse : Si f(x) = 1/x, alors f'(x) = -1/x². Notez que la dérivée est toujours négative, ce qui confirme que la fonction inverse est toujours décroissante sur ses intervalles de définition.
• Fonction racine carrée : Si f(x) = √x, alors f'(x) = 1/(2√x). Cette fonction est uniquement définie pour x ≥ 0 mais n'est dérivable que pour x > 0.

Ces formules de base sont les briques élémentaires pour construire le calcul de dérivées de fonctions plus complexes.

Maîtriser les Opérations sur les Fonctions Dérivées

Les fonctions étudiées au lycée sont rarement des fonctions usuelles isolées. Elles se présentent souvent comme des sommes, des produits ou des quotients de ces fonctions. Il faut donc connaître les règles de dérivation pour chaque opération.

Dérivée d'une somme et d'un produit par un réel

La dérivation se comporte très bien avec l'addition et la multiplication par un nombre constant (c'est une opération dite "linéaire"). Soient u et v deux fonctions dérivables et k un nombre réel.

• Dérivée de la somme : (u + v)' = u' + v'. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
• Dérivée du produit par un réel : (k * u)' = k * u'. On peut "sortir" la constante du calcul de la dérivée.

Exemple : Pour f(x) = 5x² + 3x, on dérive terme à terme : f'(x) = 5 * (2x) + 3 * (1) = 10x + 3.

Dérivée d'un produit de fonctions

Attention, la formule pour la dérivée d'un produit n'est pas intuitive. La dérivée d'un produit n'est PAS le produit des dérivées. La formule correcte est :

(u * v)' = u'v + uv'

Il faut être méthodique pour l'appliquer : identifier u et v, calculer séparément u' et v', puis appliquer la formule sans se tromper.

Dérivée d'un quotient de fonctions

La formule pour le quotient est la plus complexe et une source fréquente d'erreurs. La rigueur est de mise.

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

Deux cas particuliers découlent de cette formule :

• Dérivée de l'inverse : (1 / v)' = -v' / v². On retrouve cette formule en posant u(x) = 1 (donc u'(x) = 0) dans la formule générale du quotient.

Pour ces formules de produit et de quotient, il est crucial de bien poser les différentes parties du calcul avant de tout assembler, afin de minimiser les risques d'erreur.

Approche de la Dérivation des Fonctions Composées

Le programme de Première introduit un cas simple de dérivation de fonctions composées, qui sera généralisé en Terminale avec la formule complète de la dérivation en chaîne. La forme étudiée est celle des fonctions de type g(ax + b).

Si g est une fonction dérivable, alors la fonction f définie par f(x) = g(ax + b) est dérivable et sa dérivée est :

f'(x) = a * g'(ax + b)

Le facteur a (le coefficient de x à l'intérieur de la fonction) sort en multiplication. Par exemple, pour dériver f(x) = √(4x - 5), on reconnaît la forme g(ax+b) avec g(u) = √u, a=4 et b=-5. Comme g'(u) = 1/(2√u), on obtient f'(x) = 4 * (1 / (2√(4x-5))).

Domaine de Définition vs. Domaine de Dérivabilité

Un point technique mais important est la distinction entre le domaine de définition d'une fonction et son domaine de dérivabilité. Pour qu'une fonction soit dérivable en un point, elle doit d'abord y être définie. Cependant, une fonction peut être définie en un point sans y être dérivable. Cela se produit typiquement lorsque la courbe présente un "point anguleux" ou une tangente verticale.

• Pour une fonction f(x) = 1/u(x), le domaine de définition et de dérivabilité sont les mêmes : il faut que u(x) ≠ 0.
• Pour une fonction f(x) = √u(x), la situation est différente. Le domaine de définition est l'ensemble des x tels que u(x) ≥ 0, mais le domaine de dérivabilité est l'ensemble des x tels que u(x) > 0. L'exemple phare est la fonction racine carrée elle-même, définie en 0 mais non dérivable en 0 (la courbe admet une tangente verticale à l'origine).

Cette distinction est cruciale pour une étude rigoureuse et complète des fonctions.

Conclusion : La Dérivation, un Outil à Maîtriser

La dérivation globale est bien plus qu'une simple collection de formules. C'est une méthode de pensée, une approche systématique pour décortiquer le comportement des fonctions. Savoir calculer une dérivée est la première étape, mais le véritable objectif est de savoir interpréter son signe pour en déduire les variations de la fonction initiale. Cette compétence est au cœur de la résolution de problèmes en analyse, qu'il s'agisse d'optimisation (trouver un maximum ou un minimum) ou d'étude de modèles. Pour une compréhension approfondie, des exemples illustratifs et des exercices d'application corrigés, il est vivement recommandé de consulter la fiche de cours et d'exercices complète disponible sur Galilee.ac. La pratique régulière est la seule clé pour acquérir la fluidité nécessaire dans le calcul et le raisonnement liés à la dérivation.