Introduction
Allez les amis, on est parti pour apprendre à dresser un tableau de variation en cinq minutes. C'est parti ! Ce sont des questions qui vont vous permettre d'utiliser ce que vous avez appris sur la dérivation. Jusqu'à présent, vous arriviez comme des bleus, mais vous ne saviez pas à quoi ça sert. Là, on va voir à quoi ça sert. Donc, ce sont ces questions qui se présentent comme ça : "Étudier le sens de variation de la fonction suivante". On pourrait aussi vous dire directement "Dresser le tableau des variations de la fonction". On pourra vous demander, après avoir étudié les dérivées, d'habilité, bla bla bla... C'est toujours le même calcul qu'il faut faire et on le fait en trois étapes.
Première étape : La dérivation
Première étape, je dérive. Deuxième étape, je fais le tableau de signes de la fonction dérivée. Et troisième étape, j'en déduis le tableau de variation de la fonction. Allez, on s'y colle. Donc, la dérivée, et maintenant vous savez dériver comme des chefs. Donc, \(f'(x)\) donne \(2x^3\). Je dérive \(x^3\), ça me fait \(3x^2\). Je multiplie par 2, ça donne \(6x^2\). \(3x^2\), je cache le 3, ça donne \(6x^2\). La dérivée, c'est \(2x\). Je multiplie \(x\) par 3, ça donne \(6x\). Je vire le moins 36, je dérive \(x\), ça donne \(6x\). Donc, ça fait moins 36. Le plus 200, j'ai dérivé \(f\). La première étape, c'est bon.
Deuxième étape : Tableau de signes de la fonction dérivée
Deuxième étape, je fais le tableau de signes de la fonction dérivée. Donc, votre dérivée ici, c'est quoi ? Allez, vous savez, vous reconnaissez ça, quelque chose de carré, puisque quelque chose en \(x - 36\), c'est un polynôme du second degré. Dresser le tableau de signes d'un polynôme du second degré, vous savez très bien le faire. Comment on fait ? Il faut calculer \(\Delta\) qui vaut \(b^2 - 4ac\). Donc, \(36 - 4 \times 6 \times -36\). Je vous mets le lien vers la vidéo en or si vous voulez la revoir. Donc, \(6 \times 36 = 216\). \(4 \times 216 = 864\). Alors là, je vous dis ça de tête, mais je ne suis pas du tout sûr. Je vais chercher la calculatrice, je reviens. Et bien sûr, je m'étais trompé, parce que ce n'est pas 876, mais 864. Donc, \(36^2 = 900\). Et le tour est joué, \(\Delta\) c'est bon. Je calcule les deux racines \(x_1\) et \(x_2\).
Troisième étape : Tableau de variation de la fonction
Troisième étape, j'en déduis les variations de \(f\). Et pour ça, c'est pas compliqué. Quand la dérivée est positive, ça veut dire que la fonction est croissante. Quand la dérivée est négative, ça veut dire que la fonction est décroissante. Positif, croissant. Négatif, décroissant. Positif, croissant. Et c'est terminé, j'ai mon tableau de variation, presque. Pourquoi ? Parce qu'il faut mettre les valeurs qui sont ici et ici. Donc, il faut calculer que prend \(f\) comme valeur en -3 et que prend \(f\) comme valeur en 2. Donc là, l'erreur que vous allez faire, c'est qu'au lieu de calculer les valeurs de \(f\) en -3 et 2 et de les mettre ici et ici, vous allez calculer la valeur de \(f'\). Mais vous allez vous retrouver avec zéro et zéro. Pourquoi ? Parce que \(f'(-3) = 0\) et \(f'(2) = 0\). Mais dans cette ligne là, ce n'est pas \(f'\) qu'il faut calculer, c'est \(f\). Donc, c'est vraiment dans \(f\) qu'il faut remettre -3 et 2. Donc, je ne le fais pas ici, parce que je vais me tromper. Mais là, vous avez juste à calculer \(f(-3)\) et \(f(2)\). C'est tout pour le tableau de variation. On vous en a mis plein en dessous, à vous de jouer.