Transformations par Homothétie

Qu'est-ce qu'une homothétie en mathématiques (3ème) ?

[Musique] bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à reconnaître une image par une homothétie mais pas seulement ici on va revoir rapidement la notion de modestie afin de comprendre qu'est ce qui se passe lorsque j'applique une homothétie sur une figure ici dans cette animation n'a donc deux tortues une verte et une rose on va dire que la tortue verte c'est la tortue de départ et la torture aux c'est la tortue d'arrivée autrement dit son image par notre modestie alors ce jeu de couleurs ne fonctionne que pour l'animation ensuite pour l'exercice ça sera différent pour les couleurs déjà qu'est ce que c'est qu'une homothétie et bien une homothétie c'est une transformation donc qui transforme une figure en une autre et qui est définie par deux paramètres le premier c'est son centre le point haut ici on s'en doute bien le deuxième c'est son rapport qui est un nombre différentes \( 0 \) n'importe lequel qu'on a habituellement cas ici on voit qu'à égale \( 1,7 \)

Quel est le lien entre l'homothétie et le théorème de Thalès en 3ème ?

alors quand on regarde cette situation avec donc la tortue verte qui a pour image la torture aux par l'homo t62 centraux et de rapports \( 1,7 \) eh bien on a envie de reconnaître ici la configuration de thales effectivement il ya quelques similitudes entre le théorème de thalès et la notion de mode et si on voit déjà au niveau des alignements lorsque ici je prends les pieds des tortues il se trouve alignée avec le point haut les têtes des tortues elle se trouve également aligné avec le point haut et puis nos deux tortues on dirait qu'elles sont parallèles il y en a une juste qui est le clone de l'autre mais un peu plus grande il ya eu un agrandissement c'est un peu ce qui se passe avec thales avec le petit triangle et le grand triangle eh bien oui justement ici nous sommes dans le cadre d'un agrandissement pourquoi parce que le rapport est de \( 1,7 \) en fait qu'est-ce qu'il dit ce rapport il dit que si j'applique une homothétie sur une figure et bien toutes les dimensions toutes les longueurs vont être multipliées par le rapport de l'omo taissy ici concrètement ça veut dire que toutes les longueurs sont multiplié par \( 1,7 \)

Comment savoir si une homothétie est un agrandissement ou une réduction ?

alors ça voudrait dire que si je fait grandir encore j'augmente la valeur du rapport et bien la torture aux va être encore plus grande part l'osi essayons passons à \( 2 \) et oui effectivement on remarque que la tortue rose est encore plus grande plus précisément la torture aux est deux fois plus grand de la taille de la torture aux c'est le double de celle de la tortue verte parce que cas est égal à \( 2 \) alors diminuons maintenant la valeur de cas et on va tout doucement se rapprocher de \( 1 \) normalement si les longueurs sont multipliées par cas et sika égal \( 1 \) eh bien ça voudrait dire que la torture aux et la tortue verte aurait la même taille et oui on le constate mais même mieux que ça les deux tortues sont confondus lune et sur l'autre il se passe rien et en mathématiques ans il quand il ne se passe rien eh ben ça nous intéresse pas beaucoup ce qui veut dire que une nouveauté ce type de rapport qu'a égal \( 1 \) tu ris pas de la rencontre est souvent alors continué de diminuer la valeur de cas et regardons ce qui se passe mais je vais m'arrêter aka égale \( 0.5 \) et bien sic à égal à \( 0.5 \) ça voudrait dire donc que les longueurs sont x \( 0,5 \) \( 0,4 \) chose ça voudrait dire que les longues heures ce deviennent plus petites et oui là nous sommes dans le cadre d'une réduction la tortue image est plus petit que la tortue de départ et on peut déjà noter que la limite c'est un sica est plus grand que \( 1 \) et bien l'homo taissy correspond à un agrandissement sica est plus petit que \( 1 \) positive toujours un site qui avait plus petit que \( 1 \) et bien cela correspond à une réduction

Que se passe-t-il quand le rapport d'une homothétie est négatif ?

alors là nous sommes avec un cas positif mais on pourrait regarder ce qui se passe avec un rapport cas négatifs alors pour cela bien on va être obligé de passer par \( 0 \) et on voit qu'en passant par \( 0 \) horreur notre tortue disparaît préservons la wii les rapports sont non nulle pour les homothétie donc pas de problème on ne parle pas de cas égal \( 0 \) notre torturé un parent et uche et arrive cette fois ci avec un rapport cas négatifs on va prendre qu à égal \( -0,3 \) et là qu'est ce qu'on constate et bien on dirait que notre tortue à la tête en bas au moment fin diminuons encore la valeur de cas pour aller à \( -0,8 \) oui c'est bien clair la tortue à la tête en bas et là encore on reconnaît un peu le concept de thales avec les deux triangles qui se retourne qui sont l'un en face de l'autre la version papillon du théorème de thalès et bien il en est de même pour notre tortue on a envie de dire que le \( 2 \) torture est parallèle sauf que il y as retournement cette fois-ci et autres choses encore on avait vu tout à l'heure que pour cas positifs la tortue et son image était du même côté par rapport à eau mais là lorsque cas est négatif et bien elles sont de part et d'autre de haut ça aussi il faudra s'en souvenir pour l'exercice qui va suivre

Quelle est l'homothétie qui correspond à une symétrie centrale ?

alors on poursuit et on s'arrête aka égales - sika égal à \( -1 \) et bien ça veut dire que alors non pas les longueurs sont multipliées par \( -1 \) parce que sinon on aurait une longueur négative mais les longueurs sont multipliés par \( 1 \) donc on retrouve une tortue de la même taille que la tortue de départ sauf que cette fois ci les deux sont l'une en face de l'autre ça ça nous fait penser à quelque chose à la symétrie centrale oui en fait une homothétie de rapports \( -1 \) ça s'appelle une symétrie centrale ce que tu connaissais déjà poursuivons on aurait envie de penser que six cas est plus petit que \( -1 \) et bien on aurait un agrandissement effectivement on voit que en continuant de descendre dans les négatifs eh bien on obtient une tortue l'image qui devient de plus en plus grande toujours la tête en bas mais de plus en plus grande

Comment déterminer le signe et la valeur du rapport d'une homothétie ?

alors pour résumer tout ça on le voit ici dans ce schéma on se souviendra que déjà par rapport à \( 0 \) 6 k est positif on a les deux tortues du même côté sika est négatif on a un retournement et on a les deux tortues donc la tortue départ et la tortue images qui sont de part et d'autre du point haut ensuite agrandissement réduction sika est plus grand que \( 1 \) ou plus petit que \( -1 \) il s'agit d'un agrandissement par contre si cas y compris entre \( -1 \) et un autre que \( 0 \) et bien dans ce cas là il s'agit d'une réduction ceci étant dit on peut maintenant s'attaquer à notre exercice

Comment vérifier si une figure est l'image d'une autre par homothétie ?

alors on a quatre vrais faux et le premier nous dit que la tortue t3 et l'image de la tortue t2 parle homothétie deux centraux et de rapports \( 4 \) vrai ou faux alors on va faire le ménage on va simplement regarder les tortues t2 et t3 bien déjà on se retrouve avec deux tortues qui sont du même côté que haut avec un rapport positif ça correspond bien ensuite on à la tortue rouge qui est plus grande que la tortue bleue ce qui veut dire qu'on a un agrandissement oui le rapport est de \( 4 \) il est plus grand que \( 1 \) donc ça fonctionne bien et est ce qu'on pourrait dire que la tortue rouge et quatre fois plus grande que la tortue bleue je te laisse faire la mesure fonds d'écran et tu verras qu'effectivement c'est le cas et bien c'est vrai pour la première question l'affirmation est vrai infirmation de la tortue t3 et l'image de la tortue t5 parle homothétie deux centraux et de rapports \( 2 \) qu'en penses tu es bien ceci est faux oui absolument on rappelle que lorsqu'on prend deux éléments deux la figure de départ et de la figure d'arrivée ils doivent être alignées avec le centre de l'omo taissy alors les pieds hockey les pieds des deux tortues effectivement sont alignés avec le centre de laup modestie mais par contre si je prends les têtes et bien là ça marche pas du tout je prends le haut de la tête de la tortue rouge et le haut de la tête d'atos jaune eh bien on voit que le point haut et complètement décalé donc ceci est faux il n'y a pas de relation homothétique entre ces deux figures l'affirmation b est fausse la tortue t1 donc ce petit c1 la tortue t1 et l'image de la tortue t4 parle homothétie de centres au et de rapports \( -0,5 \) alors là effectivement on reconnaît plus une situation dôme haute et si les deux tortues sont l'une en face de l'autre par rapport à eau il y en a une qui est retourné ça tombe bien le rapport est négatif donc ça pourrait être bon on voit bien qu'il ya un alignement cette fois ci les pieds les têtes enfin tout fonctionne bien et le rapport est de \( -0,25 \) donc \( -0,25 \) ça voudrait dire qu'on multiplie par \( 0.5 \) la figure de départ pour arriver à la figure d'arrivée le rapport est donc compris entre \( -1 \) et \( 1 \) il s'agirait d'une réduction est ce que la tortue t1 est plus petite que la tortue t4 oui elle est plus petite et si on la mesure on a envie de dire qu'avec deux fois plus petit ça revient donc deux fois plus petit ça revient donc à x \( 0,5 \) donc effectivement si je prend les dimensions de la tortue t4 gelé multiplie par \( 0.5 \) je divise par \( 2 \) j'obtiens t1 l'affirmation est vrai la tortue t6 et l'image de la tortue t2 parle homothétie de centres au et de rapports \( -2 \) alors ceci est évidemment faux si tu te situes tu te souviens de ce qu'on a dit tout à l'heure on avait dit qu'il y avait une âme au t6 que tu connaisses et déjà des années passées c'est la symétrie centrale et la symétrie centrale correspond à une homothétie de rapports \( -1 \) c'est ce qui se passe ici t2 était si ce sont en fait symétrique par rapport à eau donc c'est qui voudrait dire que le rapport devrait être \( -1 \) or ici il est de \( -2 \) donc c'est faux ce qui veut dire que tu es si ce n'est pas l'image de t2 par l'homo t6 de centre haut et de rapports \( -2 \)

Comment trouver le rapport d'une homothétie entre deux figures ?

alors deuxième partie on nous demande de compléter trois petites phrases la première la tortue t3 et l'image de la tortue a complété par l'homo t62 centraux et de rapports \( -1 \) alors ça tombe bien ça permet de faire une petite transition avec ce qu'on avait vu tout à l'heure on a dit que lorsque le rapport et \( -1 \) on a en fait une symétrie centrale donc en réalité qu'est ce qu'on cherche on cherche le symétrique par rapport à aux deux t3 donc la tortue symétrique à t3 est là c'est assez facile on le voit bien c'est la tortue t7 et trois étaient sept sont bien symétrique par rapport à aux donc il valait compléter la tante ut3 et l'image de la tortue tu essaies tu parles homothétie deux centraux et de rapports \( -1 \) deuxième phrase la tortue t3 et l'image de la tortue t6 parle homothétie deux centraux et de rapport à compléter donc on voudrait on part de tes 6 et on arrive à t3 on remarque déjà que nos deux tortues se trouvent de part et d'autre de haut donc le rapport est négatif ça on peut déjà écrire maintenant quelle est la valeur numérique qui va derrière par pour cela il faudrait regarder s'il s'agit d'un agrandissement d'une réduction on voit ici qu'il s'agit d'un agrandissement t3 est plus grand que tu es 6 t3 c'est la tortue d'arrivée alors il faudrait juste compter combien de fois t3 et plus grande t6 donc là aussi je te laisse le mesurer son ton écran et tu verras assez facilement que tes trois et quatre fois plus grande que tu es 6 ce qui veut dire que ici le rapport donc ça ne sera pas \( 4 \) puisque on a dit que le rapport est négatif mais \( -4 \) il fallait donc compléter la tortue t3 et l'image de la tortue t6 parle homothétie deux centraux et de rapports \( -4 \) la tortue t7 et l'image de la tortue t6 parle homothétie de centres au et de rapport à déterminer alors cette fois ci on se retrouve avec deux tortues qui sont du même côté par rapport à eau donc le rapport sera positif ensuite tu es 7 et la tortue d'arrivée t6 la tortue de départ il s'agissait d'un agrandissement donc on va avoir forcément un rapport qui est plus grand que \( 1 \) la question c'est combien de fois plus grand bien là encore on va prendre notre écran pour mesurer on va compter vu que c'est la même situation que celle de tout à l'heure avec une hotte deux tortues t3 et t6 ici pour tes cet été 6 c'est également du x \( 4 \) le rapport est positif ça sera donc \( +4 \) on peut compléter la tortue tct l'image de la tortue t6 parle homothétie deux centraux et de rapports \( 4 \) cette séquence est terminée