12. Factoriser : a²+2ab+b²

Introduction à la factorisation par identités remarquables

Nous allons aborder une nouvelle compétence en calcul littéral : la factorisation par identités remarquables. Cette compétence nécessite une analyse méthodique et une bonne reconnaissance des identités remarquables. Dans les exercices, on ne vous dira pas forcément qu'il faut factoriser à l'aide d'une identité remarquable. C'est à vous de repérer et d'identifier l'identité remarquable appropriée.

Exemple de factorisation par identités remarquables

Prenons un exemple simple pour commencer. Nous avons l'expression \(x^2 + 2x + 1\). Les identités remarquables que nous connaissons sont \(A+B)^2\), \(A^2 - B^2\) et \(A - B(A + B)\). Nous devons identifier laquelle de ces identités est utilisée dans notre expression. Dans notre cas, nous avons un trinôme, c'est-à-dire une somme de trois termes. Nous pouvons donc exclure l'identité \(A^2 - B^2\) qui est un binôme. De plus, tous les signes dans notre expression sont positifs, donc nous allons utiliser l'identité \(A+B)^2\). Maintenant, nous devons identifier les éléments \(A^2\), \(2AB\) et \(B^2\) dans notre expression. Dans notre cas, \(A^2\) est \(x^2\), \(2AB\) est \(2x\) et \(B^2\) est \(1\).

Vérification et conclusion

Pour vérifier, nous pouvons calculer \(2AB\) avec \(A = x\) et \(B = 1\), ce qui donne \(2x\), ce qui correspond à notre expression initiale. Donc, nous pouvons conclure que notre expression peut être réécrite comme \(x + 1)^2\). En résumé, grâce aux identités remarquables, nous pouvons factoriser des expressions qui ne peuvent pas être factorisées par un facteur commun. C'est une compétence précieuse en calcul littéral. Maintenant, c'est à vous de jouer et de pratiquer avec d'autres exemples.