Ce que demande cet exercice

Cet exercice de la session 2018 du concours de recrutement de professeurs des écoles vous confronte à l'analyse d'un programme informatique conçu à l'aide du célèbre logiciel Scratch. Vous êtes invité à interpréter une séquence d'instructions faisant appel à des notions mathématiques précises, notamment au travers de l'utilisation de l'opérateur modulo. L'objectif initial consiste à dérouler l'algorithme "à la main" en simulant son exécution pour une valeur d'entrée spécifique. Cela requiert de suivre méthodiquement l'évolution de chaque variable, ainsi que le contenu de la liste de résultats, au fil des itérations.

Dans un second temps, le problème vous demande de généraliser votre raisonnement. Il ne s'agit plus de tester des valeurs isolées, mais d'identifier la fonction globale accomplie par ce script pour n'importe quel entier naturel non nul saisi. Vous devez alors établir un lien direct entre la logique de la boucle, le reste de la division euclidienne et les propriétés arithmétiques du nombre de départ. Enfin, des questions d'interprétation vous amènent à qualifier l'entier saisi en fonction du nombre d'éléments recueillis dans la liste, sollicitant vos connaissances arithmétiques.

Les notions a maitriser

• La lecture et l'interprétation d'un algorithme Scratch : vous devez comprendre les structures de contrôle classiques comme les boucles de répétition et les conditions.
• Le fonctionnement de l'opérateur modulo : il est impératif d'assimiler que cette opération renvoie le reste de la division euclidienne, et de savoir l'utiliser pour tester la divisibilité.
• L'arithmétique des entiers : une bonne maîtrise du concept de diviseur est requise pour comprendre ce que le programme cherche à lister de façon systématique.
• Les nombres particuliers : vous devez connaître les définitions exactes permettant de caractériser un entier selon la quantité de ses diviseurs, comme la définition d'un nombre premier.

Methode et pieges

Pour aborder efficacement la première partie de cet exercice, la méthode la plus sûre consiste à dresser un tableau de suivi des variables sur votre brouillon. Tracez des colonnes pour la variable d'itération, la condition du test, et l'état de la liste. Remplissez ce tableau ligne par ligne en respectant rigoureusement chaque étape. Le piège classique est d'aller trop vite et d'incrémenter mentalement les valeurs sans noter les étapes intermédiaires, conduisant à l'oubli d'un élément ou à une erreur de décalage. Veillez à bien vérifier à quel moment précis la variable d'itération est modifiée par rapport à l'évaluation de la condition dans la boucle.

Pour la généralisation, prenez le temps de formuler en français la signification de l'expression logique du test. Traduisez l'opération mathématique du modulo par une phrase simple impliquant le vocabulaire de la divisibilité, ce qui vous permettra de saisir immédiatement le but de l'algorithme. Ensuite, lorsque vous devez déduire les propriétés du nombre en fonction de la taille de la liste, référez-vous aux définitions strictes de l'arithmétique. N'oubliez pas d'examiner attentivement les cas particuliers, notamment l'entier un, dont les caractéristiques diffèrent de celles des nombres premiers habituels. Une rédaction détaillée et justifiée par les théorèmes fondamentaux de l'arithmétique est indispensable pour convaincre le jury sur ces questions d'analyse.