Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu du troisième volet de l'épreuve de mathématiques du concours, s'articule autour de l'analyse et de l'exploitation de deux programmes de calcul distincts. Le premier programme vous est présenté sous la forme d'un script développé dans l'environnement de programmation visuelle Scratch. Il enchaîne l'affectation de plusieurs variables en utilisant des blocs d'opérations arithmétiques pour aboutir à un résultat final. Le second programme de calcul est formulé en langage naturel, sous la forme d'une succession d'instructions textuelles à appliquer à un nombre de départ choisi par l'utilisateur.

La résolution de cet exercice requiert de votre part plusieurs compétences. Vous devez dans un premier temps tester manuellement ces deux programmes en y introduisant des nombres donnés, qu'ils soient entiers ou décimaux. Vous êtes ensuite amené à mener une démarche inverse en recherchant les nombres de départ permettant d'obtenir un résultat nul. Le sujet fait également intervenir la modélisation à l'aide d'un tableur, nécessitant d'identifier des formules adaptées aux calculs demandés. La dernière étape de votre travail consiste à mettre en équation l'égalité des résultats obtenus par ces deux programmes, tout en mobilisant vos connaissances sur la nature des nombres pour qualifier précisément certaines solutions.

Les notions a maitriser

• L'algorithmique sous Scratch : savoir déchiffrer un empilement de blocs pour en extraire une expression mathématique cohérente et structurée.
• Le calcul littéral et la mise en équation : traduire un algorithme par une expression algébrique, développer, factoriser et résoudre des équations produits nuls.
• La maîtrise des tableurs : comprendre le référencement des cellules et savoir rédiger une formule de calcul adaptée à une recopie automatique vers la droite.
• La nature des nombres : différencier précisément les ensembles de nombres, en particulier justifier si un nombre appartient à l'ensemble des décimaux ou des rationnels.

Methode et pieges

Pour aborder efficacement cet exercice, la première étape consiste à transcrire scrupuleusement les deux programmes de calcul sous la forme d'expressions littérales, en désignant par une lettre commune le nombre initial. Le script Scratch peut paraître complexe avec ses multiples variables, mais il suffit de procéder ligne par ligne en respectant les priorités opératoires symbolisées par l'imbrication des blocs. Prenez le temps de bien écrire sur votre brouillon la formule finale correspondant au premier programme sous sa forme factorisée. Ce travail préalable vous simplifiera considérablement la tâche lors de la recherche des antécédents, notamment lorsque vous chercherez à obtenir un résultat égal à zéro. L'utilisation du théorème de l'équation produit nul sera alors un gain de temps précieux, vous évitant de vous égarer dans des développements superflus.

Soyez particulièrement vigilant concernant les questions relatives au tableur. Souvenez-vous que toute formule saisie dans un tableur doit impérativement débuter par le signe d'égalité. Par ailleurs, assurez-vous de bien sélectionner la cellule contenant la valeur d'entrée correspondante pour construire votre formule. Enfin, lors de la dernière question, il est vivement recommandé d'utiliser les expressions littérales obtenues précédemment et de regrouper tous les termes dans un même membre afin de faire apparaître un facteur commun. La factorisation constitue ici la clé pour éviter d'avoir à manipuler une équation du second degré développée. N'oubliez pas non plus de soigner vos justifications quant à la nature des nombres, en vous appuyant sur la définition stricte des quotients et des dénominateurs fractionnaires irréductibles.