Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu du concours de la session 2015, vous plonge dans une situation concrète de mesurage. La mise en situation décrit un artisan utilisant un peson à ressort pour peser des oxydes métalliques. L'énoncé fournit les caractéristiques de l'allongement du ressort en fonction de la masse suspendue. Vous disposez précisément de la longueur initiale du ressort au repos, de sa longueur lorsqu'une première masse spécifique y est suspendue, ainsi que de la règle régissant son étirement pour chaque ajout régulier de masse supplémentaire.

Dans un premier temps, il vous est demandé de déterminer la longueur totale du peson pour une masse donnée, nettement plus importante que la masse de référence initiale. Cette étape nécessite de bien comprendre la relation d'accroissement continu. Dans un second temps, le cheminement inverse vous est proposé : à partir d'une longueur totale constatée sur la réglette par l'artisan, vous devez retrouver la masse responsable de cet étirement. Enfin, la dernière question interroge directement la nature de la relation mathématique entre les deux grandeurs étudiées, à savoir la longueur totale du dispositif et la masse suspendue. Il s'agit d'une question d'analyse conceptuelle qu'il faut traiter avec une grande rigueur dans la justification.

Les notions a maitriser

• Modélisation de situations concrètes : savoir traduire un énoncé textuel décrivant un phénomène physique régulier en un modèle mathématique exploitable.
• Proportionnalité et fonctions : identifier si deux grandeurs sont strictement proportionnelles en vérifiant l'existence d'un coefficient multiplicateur constant ou en étudiant l'ordonnée à l'origine.
• Différenciation de grandeurs : faire la distinction fondamentale entre la longueur absolue du ressort et son allongement relatif par rapport à sa position de repos.
• Résolution d'équations simples : être capable de poser et de résoudre une équation du premier degré pour déterminer un antécédent inconnu à partir d'une valeur finale donnée.

Methode et pieges

Pour aborder sereinement cette résolution, la première étape indispensable consiste à structurer lisiblement les données fournies par le texte. Vous pouvez par exemple construire un petit tableau de valeurs pour organiser votre réflexion, ou définir explicitement une fonction mathématique modélisant la longueur du ressort en fonction de la masse. La modélisation algébrique sous la forme d'une fonction affine s'avère souvent la méthode la plus robuste pour éviter les étourderies. Prenez le plus grand soin de bien intégrer la longueur initiale du ressort dans votre modélisation, car c'est cette valeur spécifique qui conditionne toute la structure de la relation mathématique étudiée.

Le piège principal de cet énoncé se situe dans l'analyse demandée à la troisième question. Il est extrêmement fréquent lors du concours de confondre l'allongement du ressort, qui obéit à une règle stricte, et la longueur totale du dispositif de mesure. Si l'accroissement de la longueur est bien régulier à chaque ajout de masse, cela ne signifie absolument pas que la longueur totale et la masse constituent un tableau de proportionnalité. Pour rédiger une justification irréfutable, vous pouvez utiliser un contre-exemple numérique simple. Montrez qu'en doublant la masse, la longueur totale n'est pas doublée. Vous pouvez également argumenter théoriquement en rappelant que, pour une masse nulle, la longueur n'est pas nulle, ce qui contredit immédiatement la définition fondamentale d'une situation de proportionnalité linéaire. Soignez particulièrement la rédaction de cette dernière réponse car la précision de votre vocabulaire mathématique sera fortement valorisée par les correcteurs du concours.