Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu du concours de recrutement de professeurs des écoles, vous plonge dans une situation de la vie courante liée à une opération promotionnelle. Un magasin distribue des tickets à gratter pour son premier anniversaire, offrant divers bons d'achat ou aucun gain. Vous disposez de l'inventaire partiel des tickets distribués en fin de journée, listant les effectifs pour chaque gain, à l'exception du gain maximal. En revanche, le commerçant fournit la moyenne globale des gains obtenus par les clients participants.

Dans un premier temps, votre tâche consiste à exploiter cette moyenne pour déterminer le nombre exact de tickets du gain le plus élevé, donnée manquante de l'inventaire. Ensuite, l'énoncé modifie la situation en augmentant fortement la valeur de ce gain maximal, sans modifier le nombre de tickets. Vous devez alors recalculer la nouvelle moyenne générée par ce changement. Enfin, il vous est demandé d'analyser l'impact de cette modification sur la médiane. L'objectif est d'évaluer votre compréhension des différences de sensibilité entre ces deux indicateurs statistiques face à des valeurs extrêmes.

Les notions à maîtriser

• Le calcul d'une moyenne pondérée : savoir exprimer la moyenne globale en fonction des effectifs et de leurs valeurs associées, même lorsqu'une donnée est manquante.
• La détermination de la médiane : comprendre comment identifier la valeur centrale d'une série statistique ordonnée, en s'appuyant sur l'effectif total cumulé.
• La résolution d'équations du premier degré : être capable de poser une équation où l'inconnue représente un effectif manquant à partir d'une formule statistique.
• L'influence des valeurs extrêmes : saisir pourquoi la moyenne est fortement affectée par les valeurs atypiques, contrairement à la médiane qui reste un indicateur plus robuste.

Méthode et pièges

Pour aborder la première question sereinement lors de l'épreuve, il est conseillé de désigner le nombre de tickets manquants par une inconnue explicite. Prenez soin d'identifier toutes les valeurs possibles de la série, y compris les tickets perdants dont le gain est nul. L'erreur classique des candidats consiste à omettre ces tickets dans le calcul de l'effectif total au dénominateur, ce qui fausse irrémédiablement le résultat. Posez ensuite l'équation correspondant à la définition de la moyenne pondérée, puis isolez votre inconnue avec méthode et rigueur algébrique pour déterminer l'effectif manquant.

Lors de la seconde partie de l'exercice, lorsque la valeur du gain maximal est modifiée, réfléchissez à ce qui change réellement dans votre formule initiale. Le nombre total de tickets distribués reste le même, seule la somme totale des gains au numérateur augmente. Pour la question finale concernant la médiane, gardez à l'esprit qu'il n'est pas nécessaire de redéployer l'intégralité de la série. La médiane partage la série, rangée par ordre croissant, en deux sous-groupes de même effectif. Demandez-vous simplement si le fait d'augmenter la valeur des gains situés à la fin de la série modifie la position de la valeur centrale. Une argumentation claire, logique et concise basée sur le rang de la médiane suffira pour convaincre le jury de votre pleine maîtrise du sujet.