Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu du sujet d'examen de la Polynésie pour l'année 2016, vous confronte à des situations particulièrement classiques de calculs de probabilités discrètes au concours. Il se divise astucieusement en trois questions indépendantes explorant des scénarios distincts, allant du cas le plus simple à des modélisations nécessitant une bonne rigueur dans la représentation mathématique.

La première partie vous demande d'étudier le lancer d'un seul dé parfaitement équilibré pour déterminer rigoureusement la probabilité d'un événement lié à la parité du nombre obtenu. La deuxième question complexifie cette expérience aléatoire en introduisant le lancer simultané de deux dés. Il s'agit alors d'analyser la somme des points obtenus sur les faces et de calculer la probabilité d'atteindre une valeur cible spécifique. Enfin, la dernière question vous plonge dans un modèle d'urne contenant un nombre défini de jetons de deux couleurs distinctes. Vous devez y modéliser un tirage successif de deux jetons sans remise pour évaluer la probabilité finale d'obtenir une paire de même couleur.

Les notions a maitriser

• L'équiprobabilité : calculer la probabilité d'un événement par le rapport entre les issues favorables et le nombre total d'issues de l'expérience.
• Les expériences à deux épreuves : dénombrer les issues lors du lancer de deux dés, à l'aide d'un tableau à double entrée pour visualiser toutes les sommes.
• Les tirages sans remise : appréhender l'évolution de la composition de l'urne après le premier tirage pour calculer correctement la probabilité lors du second.
• L'arbre pondéré : représenter les chemins d'une expérience à plusieurs étapes, appliquer la règle du produit sur une branche et la somme pour les chemins distincts.

Methode et pieges

Pour la toute première question, la méthode de résolution est très directe. Identifiez tout d'abord clairement l'univers des possibles de votre expérience aléatoire, puis comptez simplement les faces qui répondent au critère de parité attendu. L'application scrupuleuse de la formule classique de probabilité dans un contexte d'équiprobabilité suffira largement pour conclure et justifier correctement votre démarche.

La deuxième question requiert nettement plus de structure organisationnelle. Le piège classique des candidats est de chercher les différentes combinaisons mentalement, au risque évident d'en omettre plusieurs. La méthode la plus sûre et efficace consiste à tracer rapidement au brouillon un tableau à double entrée croisant les résultats des deux dés lancés. Vous visualiserez ainsi immédiatement l'ensemble des issues équiprobables et repérerez les cases dont la somme correspond à la valeur numérique cherchée. Cette excellente représentation graphique évite les erreurs dommageables tout en argumentant votre copie.

Enfin, la troisième situation impliquant un tirage sans remise est très souvent propice aux erreurs d'inattention. Le piège principal réside invariablement dans la modification des quantités pour le second tirage. Le tout premier jeton tiré n'étant pas remis dans le sac initial, le nombre total de jetons diminue inexorablement, tout comme la quantité restante pour la couleur qui vient d'être extraite. Il vous est donc vivement conseillé de construire un arbre de probabilités pondéré de taille adéquate. Cet outil visuel permet de modéliser sereinement les deux tirages successifs. Veillez à bien ajuster vos fractions sur les branches du second niveau. Ensuite, pour valider l'obtention de deux jetons identiques, repérez les chemins correspondants, multipliez les probabilités le long de chaque chemin, puis additionnez ces résultats entre eux.