Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu des annales du concours, vous confronte à un grand classique de la géométrie plane : un problème d'optimisation de distance. Le point de départ est une figure géométrique précise, un trapèze rectangle dont les dimensions vous sont imposées. La problématique centrale consiste à étudier un point mobile situé sur l'un des côtés de ce trapèze et à déterminer sa position exacte de manière à ce que la somme de deux distances spécifiques soit la plus petite possible tout en justifiant votre démarche.

Le sujet est construit de manière très progressive pour vous guider vers la solution finale. Dans un premier temps, il vous est demandé de réaliser une construction géométrique intégrant une symétrie axiale. Cette étape graphique est véritablement la clé de voûte du raisonnement qui suit. En effet, la deuxième question vous invite à exploiter astucieusement cette symétrie pour démontrer une inégalité géométrique, vous menant ainsi à la conclusion logique concernant la position optimale du point mobile. La dernière partie de l'exercice délaisse le raisonnement purement qualitatif pour basculer vers des attentes quantitatives. Vous devrez y mobiliser vos connaissances sur les configurations géométriques classiques afin d'établir une relation de proportionnalité sous la forme d'une équation, pour ensuite calculer des longueurs exactes puis approchées.

Les notions a maitriser

• La construction géométrique rigoureuse : savoir tracer un trapèze rectangle et maîtriser la construction de l'image d'un point par une symétrie axiale avec les instruments appropriés.
• Le principe du plus court chemin : comprendre et savoir justifier que, dans le plan, le chemin le plus court reliant deux points distincts est la ligne droite, notion fondamentale ici.
• Le théorème de Thalès : être capable d'identifier une configuration de Thalès croisée, de justifier le parallélisme nécessaire, et d'écrire les bons rapports pour aboutir à une équation.
• Le théorème de Pythagore : savoir repérer les triangles rectangles pertinents dans la figure pour calculer des longueurs, et maîtriser le passage de la valeur exacte à la valeur arrondie.

Methode et pieges

Pour réussir cette épreuve, votre première alliée sera la qualité indéniable de votre figure. Ne négligez surtout pas l'étape de construction en début d'exercice. Prenez le temps de tracer des droites bien perpendiculaires et de reporter les mesures avec une grande précision. Une figure soignée vous permettra de visualiser immédiatement l'alignement des points, ce qui est indispensable pour comprendre la logique sous-jacente de la deuxième question. Le piège classique ici serait de vouloir chercher la distance minimale par des calculs complexes dès le début, alors que la symétrie axiale offre une résolution géométrique élégante et très directe. Rappelez-vous constamment que la symétrie conserve les longueurs, ce qui vous permet de transformer l'étude d'une ligne brisée complexe en celle d'un simple segment de droite.

Lors de la phase de calcul, la plus grande vigilance est de mise lors de l'application du théorème de Thalès. Veillez à bien expliciter les conditions d'application sur votre copie, notamment en démontrant formellement que les droites impliquées sont parallèles, une étape trop souvent oubliée par les candidats. Lorsque vous poserez l'équation demandée, prenez soin de bien identifier à quoi correspond chaque segment. L'utilisation d'une inconnue classique comme variable peut grandement simplifier la résolution algébrique de cette équation fractionnaire. Enfin, lors du calcul final avec le théorème de Pythagore, soyez extrêmement attentif à la consigne concernant les arrondis. Le jury exige explicitement une valeur exacte avant de demander une valeur approchée au dixième. Ne donnez jamais une valeur arrondie prématurément dans vos calculs intermédiaires.