Ce que demande cette question
La question 21 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2009 vous plonge dans une situation classique des sujets de concours : l'analyse des reports de voix lors d'une élection à deux tours. L'énoncé présente les résultats du premier tour pour trois candidats principaux, nommés A, B et C, ainsi que pour les autres candidats. Au second tour, seuls A et B s'affrontent. La difficulté de cet exercice réside dans la modélisation des comportements des électeurs. Vous devez prendre en compte le fait que les électeurs initiaux de A et B maintiennent leur choix, tandis que les électeurs de C et des autres candidats répartissent leurs votes selon des pourcentages précis.
À partir de ces données, les quatre affirmations vous demandent de calculer différentes probabilités. Il vous faudra déterminer la probabilité globale qu'un électeur vote pour A ou pour B à l'issue du second tour. De plus, l'exercice exige de calculer la probabilité d'une intersection d'événements, c'est-à-dire le fait de voter pour un candidat spécifique au premier tour et pour un autre au second. Enfin, la dernière affirmation vous demande d'évaluer une probabilité conditionnelle inversée, en cherchant à connaître le vote du premier tour sachant le résultat du second tour.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts fondamentaux du calcul des probabilités :
- La construction d'un arbre pondéré : savoir traduire l'énoncé en un arbre de probabilités clair, avec des nœuds représentant le premier tour et des branches secondaires pour le second tour.
- La formule des probabilités totales : indispensable pour calculer la probabilité finale qu'un électeur vote pour le candidat A ou B au second tour, en sommant les probabilités des chemins correspondants.
- Le calcul de l'intersection de deux événements : comprendre comment multiplier les probabilités le long d'une branche pour trouver la probabilité d'une succession de choix.
- Les probabilités conditionnelles : savoir inverser le conditionnement pour calculer la probabilité d'un événement du premier tour sachant qu'un événement du second tour s'est réalisé.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
La clé de la réussite pour ce type de question réside dans la rigueur de votre modélisation initiale. Prenez le temps de dessiner un arbre de probabilités lisible sur votre brouillon. Le piège classique est de se précipiter sur les calculs sans vérifier que la somme des probabilités issues de chaque nœud est égale à un. Faites particulièrement attention aux électeurs de A et B du premier tour : l'énoncé indique qu'ils ne changent pas d'avis, ce qui signifie que la probabilité conditionnelle de voter pour leur candidat au second tour est de cent pour cent.
Gardez à l'esprit les spécificités du concours ACCÈS. L'épreuve de raisonnement logique et mathématiques teste votre précision sous la pression du chronomètre. N'oubliez pas le barème de ce concours : une mauvaise réponse est lourdement pénalisée et vous fait perdre des points, tandis qu'une absence de réponse vaut zéro. Si, après avoir posé vos calculs, vous n'êtes pas certain du résultat d'une probabilité conditionnelle complexe, il est stratégique de s'abstenir plutôt que de risquer une pénalité. Sécurisez les affirmations dont les calculs vous semblent évidents grâce à votre arbre pondéré.