Ce que demande cette question

La question 8 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2021 vous confronte à l'étude classique mais exigeante d'une fonction composée. L'énoncé vous présente une fonction f, définie par le logarithme népérien d'un quotient faisant intervenir la fonction exponentielle au numérateur et au dénominateur. À partir de cette unique expression analytique, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes, chacune explorant une facette différente de l'analyse de fonctions.

La première affirmation vous demande de déterminer l'ensemble de définition de cette fonction. Cela implique de poser les bonnes conditions d'existence, sachant que l'argument du logarithme népérien doit être strictement positif. La deuxième affirmation porte sur le calcul de la dérivée. Vous devez appliquer les règles de dérivation des fonctions composées et des quotients pour vérifier si l'expression proposée correspond bien à la dérivée de la fonction f. La troisième affirmation vous invite à étudier le signe de la fonction sur son domaine de définition, ce qui nécessite de comparer l'argument du logarithme par rapport à la valeur un. Enfin, la dernière affirmation vous demande de résoudre une équation précise, en cherchant si la fonction peut atteindre la valeur un, et de vérifier si la solution proposée est l'unique bonne réponse.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts mathématiques suivants :

• Le domaine de définition du logarithme népérien : savoir que la fonction ln n'est définie que pour des valeurs strictement positives et savoir résoudre les inéquations associées.
• Les propriétés de la fonction exponentielle : utiliser le fait que l'exponentielle est toujours strictement positive et connaître son comportement pour simplifier des expressions ou résoudre des inéquations.
• La dérivation des fonctions composées : maîtriser parfaitement la formule de la dérivée de ln(u), qui est u'/u, ainsi que la règle de dérivation d'un quotient de la forme u/v.
• La résolution d'équations avec ln et exp : savoir isoler l'inconnue en appliquant la fonction exponentielle pour annuler le logarithme, puis manipuler algébriquement les termes pour trouver la solution finale.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa difficulté et sa gestion du temps très serrée. Vous disposez de deux heures pour traiter quinze questions, chacune comportant quatre affirmations à juger VRAI ou FAUX. Il est crucial de garder à l'esprit le système de notation spécifique à ce concours : une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Il est donc fortement déconseillé de répondre au hasard. Si vous n'êtes pas certain de votre calcul de dérivée ou de la résolution de l'équation, il vaut mieux laisser la case vide plutôt que de risquer de perdre des points précieux.

Pour cette question précise, plusieurs pièges classiques vous attendent. Lors de la recherche du domaine de définition, ne vous précipitez pas : analysez soigneusement le signe du numérateur et du dénominateur. Un autre piège fréquent réside dans le calcul de la dérivée. Les erreurs de signe lors de l'application de la formule du quotient sont très courantes. Prenez le temps de poser vos calculs au brouillon. Enfin, lors de la résolution de l'équation pour la dernière affirmation, n'oubliez pas de vérifier si la solution trouvée appartient bien au domaine de définition préalablement établi. Une solution mathématique apparente peut parfois être rejetée si elle ne respecte pas les conditions d'existence de la fonction initiale. Restez concentré et méthodique à chaque étape de votre raisonnement.