Ce que demande cette question

Cette huitième question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2009 vous plonge dans un problème classique de logique et de partages. L'énoncé met en scène trois joueurs s'affrontant au cours d'un jeu en plusieurs manches. La règle est stricte : à chaque tour, deux joueurs remportent la manche et voient leur capital doubler, tandis que le perdant finance ce doublement avec ses propres réserves. Le jeu s'arrête lorsqu'un joueur ne possède plus les fonds nécessaires pour payer les gagnants.

On vous fournit une situation précise : à l'issue de la cinquième manche, les avoirs des trois participants sont connus. À partir de cet état final, votre objectif est d'évaluer quatre affirmations. Celles-ci portent sur des aspects variés. Vous devrez déterminer si le jeu s'arrête à cette cinquième manche, retrouver la répartition exacte de l'argent au début de la partie, identifier le joueur ayant subi le moins de défaites, et statuer sur la constance de la somme totale des avoirs. Il s'agit de reconstituer l'historique de la partie par un raisonnement déductif rigoureux.

Les notions à maîtriser

• Le principe d'invariant : Comprendre que lors d'un transfert d'argent en vase clos, la somme totale des avoirs reste strictement constante d'une manche à l'autre.
• Le raisonnement à rebours : Être capable d'inverser une règle de calcul. Si un joueur double son capital en gagnant, son avoir précédent était la moitié de son avoir actuel.
• La parité et la divisibilité : Utiliser le fait que pour avoir gagné la manche précédente, le capital actuel d'un joueur doit obligatoirement être pair. Cela permet de déduire qui a perdu.
• La modélisation algébrique : Savoir traduire une situation textuelle en équations pour vérifier les montants échangés et les conditions d'arrêt.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour aborder sereinement cette question, la méthode la plus efficace consiste à construire un tableau de suivi. En partant de la cinquième manche, remontez le temps étape par étape. À chaque ligne, identifiez le perdant en observant les capitaux impairs ou en calculant les moitiés des capitaux pairs. Cette approche systématique vous évitera de vous perdre dans des calculs mentaux et vous donnera directement les avoirs initiaux.

Attention aux pièges fréquents de ce genre d'énoncé. Le premier écueil est de mal interpréter la condition d'arrêt du jeu. Il faut vérifier si, à la fin de la cinquième manche, le perdant potentiel de la manche suivante aurait assez d'argent pour payer les autres. Un autre piège classique est l'erreur d'étourderie lors du raisonnement à rebours, qui fausse l'intégralité du tableau.

Enfin, gardez à l'esprit la spécificité du barème du concours ACCÈS. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée et coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous ne parvenez pas à remonter l'historique avec certitude, il est préférable de ne cocher que les affirmations dont vous êtes sûr, comme celle concernant la somme totale des avoirs. Ne prenez pas de risques inutiles.