Ce que demande cette question
La question 8 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2024 vous propose un exercice hybride très classique. Il s'agit de lier une expérience aléatoire simple, le lancer de deux dés cubiques, avec l'analyse algébrique d'une équation polynomiale. Vous lancez un dé noir donnant la valeur de la variable n, et un dé blanc donnant la valeur de la variable b. Ces deux variables constituent ensuite les coefficients d'une équation du second degré paramétrée.
Pour évaluer les différentes affirmations, vous devez traduire le problème probabiliste en un problème algébrique. Les trois premières propositions vous interrogent sur le nombre de racines réelles de cette équation. Vous devez donc exprimer le discriminant en fonction des résultats des dés, puis déterminer pour quelles combinaisons ce discriminant est strictement positif, nul ou strictement négatif. L'univers de cette expérience aléatoire comporte trente-six issues équiprobables, ce qui permet de dénombrer les cas favorables. La dernière proposition ajoute une difficulté en introduisant une condition. Il vous est demandé de calculer la probabilité que les deux racines soient de même signe, sachant que l'équation possède deux racines réelles distinctes. Cela nécessite une analyse des propriétés des racines sans avoir besoin de les calculer explicitement.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez mobiliser plusieurs concepts fondamentaux du programme de mathématiques :
- Le dénombrement et les probabilités simples : Vous devez savoir modéliser le lancer de deux dés, identifier l'univers et calculer la probabilité d'un événement en effectuant le rapport entre les cas favorables et le nombre total de cas possibles.
- L'étude du trinôme du second degré : Il est impératif de maîtriser le calcul du discriminant et de connaître son lien direct avec le nombre de racines réelles d'une équation.
- Le signe des racines d'un polynôme : Vous devez être capable d'utiliser les relations entre les coefficients d'une équation et le produit de ses racines pour en déduire leur signe.
- Les probabilités conditionnelles : La dernière affirmation exige de savoir restreindre l'univers des possibles à une condition donnée pour calculer une nouvelle probabilité.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS est réputée pour son exigence. Avec quinze questions à traiter en deux heures, vous disposez d'environ huit minutes par question. Face à un exercice mêlant probabilités et algèbre, la méthode la plus sûre consiste à dresser rapidement un tableau à double entrée pour visualiser les trente-six issues possibles et évaluer le signe du discriminant pour chacune d'entre elles. Cette approche systématique permet d'éviter les erreurs de dénombrement.
Gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème. Chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Le système de notation pénalise lourdement les mauvaises réponses. Rappelez-vous qu'une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Si vous déterminez le nombre de racines pour les premières affirmations mais bloquez sur la probabilité conditionnelle, il est préférable de ne pas répondre au hasard pour cette dernière. Le piège principal ici serait de se lancer dans le calcul complexe des racines exactes, alors que l'analyse du produit des racines via les coefficients suffit amplement pour conclure.