Ce que demande cette question
Pour cette cinquième question de l'épreuve de raisonnement logique du concours ACCÈS 2022, vous êtes confronté à un problème classique de modélisation mathématique. L'énoncé vous présente une expérience physique simple : un élastique d'une longueur initiale de x centimètres est tendu à son maximum pendant une heure. Une fois relâché, on observe que sa longueur a augmenté de 6 %. Ce phénomène d'allongement se répète à l'identique lors de chaque nouvelle expérience, et ce, jusqu'à la rupture éventuelle de l'élastique.
L'objectif de cet exercice est de vérifier votre capacité à traduire cette situation concrète en un modèle mathématique rigoureux. Vous devez analyser quatre affirmations distinctes qui portent sur l'évolution de la longueur de l'élastique au fil des répétitions. L'énoncé introduit également une variable y, définie comme l'entier immédiatement supérieur à un quotient faisant intervenir des logarithmes népériens. Il vous est demandé de déterminer la validité de propositions concernant l'expression de la longueur après un nombre n d'expériences, le pourcentage d'allongement global après deux répétitions, l'allongement absolu en centimètres, ainsi que le nombre d'itérations nécessaires pour que l'élastique double sa longueur initiale. Vous devez donc faire preuve d'une grande rigueur dans la lecture des formules proposées.
Les notions à maîtriser
Pour aborder sereinement cette question, vous devez mobiliser plusieurs concepts fondamentaux du programme de mathématiques :
- Les suites géométriques : vous devez savoir modéliser une évolution répétée par une suite, en identifiant correctement le premier terme et la raison.
- Les coefficients multiplicateurs : il est impératif de comprendre qu'une augmentation de 6 % ne correspond pas à une addition, mais à une multiplication par un coefficient de 1,06.
- Les évolutions successives : vous devez être capable de calculer un taux d'évolution global après plusieurs hausses consécutives, sans tomber dans le piège de l'addition des pourcentages.
- La fonction logarithme népérien : la résolution d'inéquations exponentielles pour trouver un seuil (comme le doublement d'une valeur) nécessite de maîtriser les propriétés algébriques du logarithme.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS est réputé pour ses questions à choix multiples particulièrement subtiles, et cet exercice sur les suites ne fait pas exception. La principale difficulté réside dans la lecture attentive des expressions algébriques. Par exemple, une erreur fréquente consiste à confondre la mise à la puissance de la raison avec la mise à la puissance de l'ensemble de l'expression, ou encore à confondre l'allongement total avec la longueur finale de l'élastique. Prenez toujours le temps de poser votre calcul au brouillon : écrivez la longueur après une expérience, puis après deux, afin de dégager la formule générale par récurrence.
De plus, méfiez-vous de l'intuition trompeuse concernant les pourcentages. Une hausse de 6 % répétée deux fois ne donne pas une hausse de 12 %, car la seconde augmentation s'applique sur une valeur déjà majorée. C'est le principe des intérêts composés. Enfin, gardez toujours à l'esprit la spécificité du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Dans ce concours, une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous hésitez sur l'interprétation de la formule logarithmique ou sur le calcul du taux global, il est parfois préférable de ne pas cocher plutôt que de risquer de perdre de précieux points. La gestion du risque est une compétence tout aussi importante que vos connaissances mathématiques pour réussir cette épreuve.